Um pesquisador acredita que a preferência dos alunos por diferentes atividades extracurriculares em uma escola é igualmente distribuída entre cinco categorias: esportes, música, teatro, arte e clubes acadêmicos. Ele coletou dados de uma amostra de 300 alunos sobre suas atividades preferidas e obteve os seguintes resultados:
- Esportes: 85 alunos
- Música: 60 alunos
- Teatro: 45 alunos
- Arte: 55 alunos
- Clubes acadêmicos: 55 alunos
Com base nesses dados, avalie se há evidências para questionar a hipótese de que as preferências dos alunos são igualmente distribuídas entre as cinco atividades, ao nível de significância de
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Com base nesses dados, avalie se há evidências para questionar a hipótese de que as preferências dos alunos são igualmente distribuídas entre as cinco atividades, ao nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde um pesquisador quer saber se as preferências dos alunos por atividades extracurriculares estão igualmente distribuídas entre cinco categorias: esportes, música, teatro, arte e clubes acadêmicos. A gente vai analisar isso usando um teste qui-quadrado de aderência. Para isso, precisamos dos dados observados (quantos alunos preferem cada atividade) e comparar com os dados esperados se a distribuição fosse realmente igual.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula (H₀) é que as preferências são igualmente distribuídas entre as cinco atividades. A hipótese alternativa (H₁) é que pelo menos uma das preferências difere das demais.
Passo 3
Como temos 300 alunos divididos igualmente entre 5 categorias, o número esperado de alunos por atividade seria:
Então, esperamos 60 alunos em cada uma das cinco categorias se a hipótese nula for verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste qui-quadrado usando a fórmula:
Onde
é o valor observado e
é o valor esperado para cada categoria.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula para cada categoria:
- Esportes:
- Música:
- Teatro:
- Arte:
- Clubes acadêmicos:
Passo 6
Agora, somamos todos esses valores para obter o valor total do teste qui-quadrado:
Passo 7
Vamos determinar o valor crítico do qui-quadrado para o nosso teste. O grau de liberdade (gl) é igual ao número de categorias menos 1, então:
Consultando uma tabela de qui-quadrado para
e
, encontramos um valor crítico de aproximadamente 9,488.
Passo 8
Comparamos o valor calculado do chi-quadrado (14,01) com o valor crítico (9,488). Como 14,01 > 9,488, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que as preferências dos alunos são igualmente distribuídas entre as cinco atividades ao nível de significância de 5 %. Ou seja, pelo menos uma das categorias de atividade extracurricular é mais ou menos preferida do que as outras.