Um pesquisador acredita que a preferência dos alunos por diferentes atividades extracurriculares em uma escola é igualmente distribuída entre cinco categorias: esportes, música, teatro, arte e clubes acadêmicos. Ele coletou dados de uma amostra de 300 alunos sobre suas atividades preferidas e obteve os seguintes resultados:
  • Esportes: 85 alunos
  • Música: 60 alunos
  • Teatro: 45 alunos
  • Arte: 55 alunos
  • Clubes acadêmicos: 55 alunos
    Com base nesses dados, avalie se há evidências para questionar a hipótese de que as preferências dos alunos são igualmente distribuídas entre as cinco atividades, ao nível de significância de 5 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde um pesquisador quer saber se as preferências dos alunos por atividades extracurriculares estão igualmente distribuídas entre cinco categorias: esportes, música, teatro, arte e clubes acadêmicos. A gente vai analisar isso usando um teste qui-quadrado de aderência. Para isso, precisamos dos dados observados (quantos alunos preferem cada atividade) e comparar com os dados esperados se a distribuição fosse realmente igual.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula (H₀) é que as preferências são igualmente distribuídas entre as cinco atividades. A hipótese alternativa (H₁) é que pelo menos uma das preferências difere das demais.

Passo 3

Como temos 300 alunos divididos igualmente entre 5 categorias, o número esperado de alunos por atividade seria:
Esperado = 3005 = 60
Então, esperamos 60 alunos em cada uma das cinco categorias se a hipótese nula for verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Onde é o valor observado e é o valor esperado para cada categoria.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula para cada categoria:
  • Esportes:
  • Música:
  • Teatro:
  • Arte:
  • Clubes acadêmicos:

Passo 6

Agora, somamos todos esses valores para obter o valor total do teste qui-quadrado:
chi^2 = 10,42 + 0 + 3,75 + 0,42 + 0,42 = 14,01

Passo 7

Vamos determinar o valor crítico do qui-quadrado para o nosso teste. O grau de liberdade (gl) é igual ao número de categorias menos 1, então:
gl = 5 - 1 = 4
Consultando uma tabela de qui-quadrado para e , encontramos um valor crítico de aproximadamente 9,488.

Passo 8

Comparamos o valor calculado do chi-quadrado (14,01) com o valor crítico (9,488). Como 14,01 > 9,488, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que as preferências dos alunos são igualmente distribuídas entre as cinco atividades ao nível de significância de 5 %. Ou seja, pelo menos uma das categorias de atividade extracurricular é mais ou menos preferida do que as outras.

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