Uma empresa de inspeção realiza verificações em pontes de concreto. Sabe-se que
das pontes inspecionadas têm um histórico de manutenção adequada, e
têm um histórico de manutenção inadequada. A probabilidade de uma ponte com manutenção adequada apresentar defeitos é de
, enquanto a probabilidade de uma ponte com manutenção inadequada apresentar defeitos é de
. Se uma ponte inspecionada apresenta defeitos, qual é a probabilidade de que ela tenha um histórico de manutenção inadequada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo manutenção de pontes de concreto. O que precisamos saber pra resolver é sobre probabilidades condicionais e o Teorema de Bayes. Basicamente, queremos descobrir a chance de uma ponte ter tido manutenção inadequada, dado que ela apresentou defeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- 70% das pontes têm manutenção adequada.
- 30% das pontes têm manutenção inadequada.
- A probabilidade de uma ponte com manutenção adequada ter defeitos é 2%.
- A probabilidade de uma ponte com manutenção inadequada ter defeitos é 20%.
Passo 3
Vamos definir nossos eventos:
-
: Ponte tem manutenção adequada. -
: Ponte tem manutenção inadequada. -
: Ponte apresenta defeitos.
Sabemos que:
Passo 4
Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade da ponte ter manutenção inadequada dado que ela apresentou defeitos. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Mas primeiro, precisamos calcular
, que é a probabilidade total de uma ponte apresentar defeitos. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Vamos calcular isso.
Passo 5
Calculando
:
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que uma ponte que apresentou defeitos tenha um histórico de manutenção inadequada é aproximadamente 81,08%.