Uma empresa de inspeção realiza verificações em pontes de concreto. Sabe-se que 70 % das pontes inspecionadas têm um histórico de manutenção adequada, e 30 % têm um histórico de manutenção inadequada. A probabilidade de uma ponte com manutenção adequada apresentar defeitos é de 2 %, enquanto a probabilidade de uma ponte com manutenção inadequada apresentar defeitos é de 20 %. Se uma ponte inspecionada apresenta defeitos, qual é a probabilidade de que ela tenha um histórico de manutenção inadequada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo manutenção de pontes de concreto. O que precisamos saber pra resolver é sobre probabilidades condicionais e o Teorema de Bayes. Basicamente, queremos descobrir a chance de uma ponte ter tido manutenção inadequada, dado que ela apresentou defeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • 70% das pontes têm manutenção adequada.
  • 30% das pontes têm manutenção inadequada.
  • A probabilidade de uma ponte com manutenção adequada ter defeitos é 2%.
  • A probabilidade de uma ponte com manutenção inadequada ter defeitos é 20%.

Passo 3

Vamos definir nossos eventos:
  • : Ponte tem manutenção adequada.
  • : Ponte tem manutenção inadequada.
  • : Ponte apresenta defeitos.
Sabemos que:

Passo 4

Queremos encontrar P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) , ou seja, a probabilidade da ponte ter manutenção inadequada dado que ela apresentou defeitos. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B)
Mas primeiro, precisamos calcular , que é a probabilidade total de uma ponte apresentar defeitos. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Vamos calcular isso.

Passo 5

Calculando P(D) = (0,02 times 0,70) + (0,20 times 0,30) = 0,014 + 0,06 = 0,074 :
P(B|D) = 0,20 times 0,300,074 = 0,060,074 approx 0,8108
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que uma ponte que apresentou defeitos tenha um histórico de manutenção inadequada é aproximadamente 81,08%.

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