Um sistema de drenagem em uma obra civil é composto por várias seções de tubulação, cada uma das quais tem uma probabilidade de 0,03 de falhar em qualquer mês devido ao acúmulo de sedimentos. Os engenheiros monitoram as seções mês a mês para detectar a primeira falha.
4. Qual é a probabilidade de que a primeira seção falhe exatamente após 12 meses de monitoramento?
5. Determine a probabilidade de que a primeira falha ocorra em 6 meses ou menos.
6. Qual é o número esperado de meses até que a primeira falha seja detectada?
4. Qual é a probabilidade de que a primeira seção falhe exatamente após 12 meses de monitoramento?
5. Determine a probabilidade de que a primeira falha ocorra em 6 meses ou menos.
6. Qual é o número esperado de meses até que a primeira falha seja detectada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de drenagem com várias tubulações, e cada tubulação tem uma chance de 3% de falhar em qualquer mês por causa de sedimentos. Os engenheiros estão de olho para ver quando ocorre a primeira falha. Vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição geométrica, para responder às perguntas sobre quando essa primeira falha acontece.
Passo 2
Pergunta 4: Qual é a probabilidade de que a primeira falha ocorra exatamente após 12 meses?
Aqui, queremos saber a probabilidade de que nos primeiros 11 meses não haja falha e, no 12º mês, a primeira falha aconteça. Isso segue a distribuição geométrica, que nos dá a probabilidade de que o primeiro sucesso (no caso, uma falha) ocorra no n-ésimo ensaio (mês).
A fórmula da distribuição geométrica é:
Onde:
-
(probabilidade de falha em um mês) -
(mês em que ocorre a primeira falha)
Aplicando os valores:
Calculando:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 2,21%.
Passo 3
Pergunta 5: Determine a probabilidade de que a primeira falha ocorra em 6 meses ou menos.
Essa é a probabilidade cumulativa até o 6º mês. Ou seja, queremos a soma das probabilidades de ocorrer a primeira falha no 1º, 2º, …, até o 6º mês. A fórmula é:
Alternativamente, podemos usar a fórmula da função de distribuição acumulada da distribuição geométrica:
Aplicando os valores:
Calculando:
Então,
Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 16,3%.
Passo 4
Pergunta 6: Qual é o número esperado de meses até que a primeira falha seja detectada?
Aqui queremos encontrar o valor esperado da distribuição geométrica, que nos dá o número médio de meses até a primeira falha. A fórmula é:
Onde
.
Calculando:
Então, o número esperado de meses até a primeira falha é de aproximadamente 33,33 meses.
Resposta
- Probabilidade da primeira falha exatamente após 12 meses: ~2,21%
- Probabilidade da primeira falha em 6 meses ou menos: ~16,3%
- Número esperado de meses até a primeira falha: ~33,33 meses