Em uma empresa onde os salários tem uma média de 100,00 u.m. e um desvio padrão de 20,00 u.m., o sindicato pede que cada salário xi se transforme em yi; através da seguinte relação: yi=2,5 xi+10. O diretório aceita parcialmente o pedido diminuindo os salários propostos pelo sindicato em 10 %, o que é aceito pelo sindicato. Determine a média e a variância da nova distribuição de salários.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a nova média e variância dos salários após algumas transformações. Vamos precisar saber sobre transformações lineares de variáveis aleatórias, ou seja, como mudar a média e a variância quando aplicamos uma fórmula do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que o sindicato propôs. Eles querem que cada salário yi = 2,5 , xi + 10 seja transformado em usando a relação:
Isso significa que cada salário é multiplicado por 2,5 e depois são adicionados 10 unidades monetárias.

Passo 3

O diretor aceitou diminuir esses novos salários propostos pelo sindicato em 10%. Então, vamos calcular esse desconto de 10%. Para isso, multiplicamos a expressão zi = 0,9 times yi = 0,9 times (2,5 , xi + 10) por 0,9 (que é 1 menos 10%):
zi = 2,25 , xi + 9
Simplificando isso:
Agora temos a relação que define os novos salários .

Passo 4

Vamos encontrar a nova média dos salários. Sabemos que a média de muz = a , mux + b é 100 u.m. Quando aplicamos uma transformação linear muz = 2,25 times 100 + 9 = 225 + 9 = 234 , a nova média é dada por:
Aqui, e . Então:
Portanto, a nova média é 234 u.m.

Passo 5

Agora, vamos calcular a nova variância. A variância mede o quanto os salários variam em relação à média. Quando aplicamos uma transformação linear sigmaz^2 = a^2 , sigmax^2 , a nova variância sigmaz^2 = (2,25)^2 times 400 = 5,0625 times 400 = 2025 é dada por:
Sabemos que a variância original é u.m. , e . Então:
Assim, a nova variância é 2025 u.m. .

Resposta

A média da nova distribuição é de 234,00 u.m. e a variância é de 2025,00 u.m².

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