Uma empresa produz um parafuso que deve ter em média 15 mm . Após coletar de um lote, uma amostra de tamanho n=10, foi constatada uma média de 13,0 mm. Assumindo que a distribuição seja normal, a empresa produz estes parafusos com um desvio padrão de 3 mm (populacional). Verifique se ela deve reprovar este lote com um nível de confiança de 98 %. Com base no exercício, responda abaixo:
(1 , 5) Delimite as regiões de rejeição. Localize a estatística de teste e o ponto crítico no gráfico abaixo. Depois conclua o teste de hipótese.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que produz parafusos com o comprimento médio esperado de 15 mm. Eles coletaram uma amostra de 10 parafusos e a média encontrada foi de 13,0 mm. Sabemos que a distribuição dos comprimentos é normal e que o desvio padrão populacional é de 3 mm. O objetivo aqui é verificar, com 98% de confiança, se a empresa deve rejeitar esse lote de parafusos. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese para a média, considerando que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que estaremos testando:
  • Hipótese Nula ( H0): A média dos parafusos é igual a 15 mm. ( mu = 15)
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média dos parafusos é diferente de 15 mm. ( mu neq 15)
Como estamos verificando se a média é diferente, é um teste bicaudal.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o nível de significância ( alpha). Como o nível de confiança é de 98%, o nível de significância será:
alpha = 1 - 0,98 = 0,02
Como é um teste bicaudal, dividimos alpha por 2 para cada cauda:
alpha/2 = 0,01

Passo 4

Vamos encontrar os valores críticos que delimitam as regiões de rejeição. Como a distribuição é normal e conhecemos o desvio padrão, usamos a distribuição Z.
Consultando a tabela Z para alpha/2 = 0,01, encontramos que o valor crítico é aproximadamente:
Zcrítico = pm 2,33 í
Portanto, as regiões de rejeição são:
Z < -2,33 ou Z > 2,33

Passo 5

Agora, calculamos a estatística de teste Z usando a fórmula:
Z = barX - musigma/raizn
Onde:
  • barX = 13,0 mm (média amostral)
  • mu = 15 mm (média populacional)
  • sigma = 3 mm (desvio padrão populacional)
  • n = 10 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Z = 13,0 - 153/raiz10 = -20,9487 approx -2,11

Passo 6

Agora, comparamos o valor de Z calculado com os valores críticos:
-2,33 < -2,11 < 2,33
Como o valor de Z calculado (-2,11) está dentro da região de aceitação, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de confiança de 98%, a estatística de teste Z approx -2,11 não está nas regiões de rejeição ( Z < -2,33 ou Z > 2,33). Portanto, a empresa não deve rejeitar este lote de parafusos.

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