Uma empresa produz um parafuso que deve ter em média 15 mm . Após coletar de um lote, uma amostra de tamanho
, foi constatada uma média de
. Assumindo que a distribuição seja normal, a empresa produz estes parafusos com um desvio padrão de 3 mm (populacional). Verifique se ela deve reprovar este lote com um nível de confiança de
. Com base no exercício, responda abaixo:
Delimite as regiões de rejeição. Localize a estatística de teste e o ponto crítico no gráfico abaixo. Depois conclua o teste de hipótese.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que produz parafusos com o comprimento médio esperado de 15 mm. Eles coletaram uma amostra de 10 parafusos e a média encontrada foi de 13,0 mm. Sabemos que a distribuição dos comprimentos é normal e que o desvio padrão populacional é de 3 mm. O objetivo aqui é verificar, com 98% de confiança, se a empresa deve rejeitar esse lote de parafusos. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese para a média, considerando que conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que estaremos testando:
- Hipótese Nula (
): A média dos parafusos é igual a 15 mm. ( ) - Hipótese Alternativa (
): A média dos parafusos é diferente de 15 mm. ( )
Como estamos verificando se a média é diferente, é um teste bicaudal.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o nível de significância (
). Como o nível de confiança é de 98%, o nível de significância será:
Como é um teste bicaudal, dividimos
por 2 para cada cauda:
Passo 4
Vamos encontrar os valores críticos que delimitam as regiões de rejeição. Como a distribuição é normal e conhecemos o desvio padrão, usamos a distribuição
.
Consultando a tabela
para
, encontramos que o valor crítico é aproximadamente:
Portanto, as regiões de rejeição são:
Passo 5
Agora, calculamos a estatística de teste
usando a fórmula:
Onde:
-
mm (média amostral) -
mm (média populacional) -
mm (desvio padrão populacional) -
(tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, comparamos o valor de
calculado com os valores críticos:
Como o valor de
calculado (-2,11) está dentro da região de aceitação, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de confiança de 98%, a estatística de teste
não está nas regiões de rejeição (
ou
). Portanto, a empresa não deve rejeitar este lote de parafusos.