Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 141 152 159 158 167 157 143 158 150 144 166
|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline 148 & 141 & 152 & 159 & 158 & 167 & 157 & 143 & 158 & 150 & 144 & 166 hline
Construa um intervalo de |l|l| hline barX=153,58 & S=8,65 hline de confiança para os seguintes parâmetros:
95 % Variância populacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra de 12 cabos de aço com resistências diferentes e já sabemos a média ( barX = 153,58) e o desvio padrão ( S = 8,65). O objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a variância da população desses cabos. Para isso, vamos precisar usar a distribuição qui-quadrado ( chi^2), que é ótima para lidar com variâncias quando a gente tem uma amostra pequena.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular os graus de liberdade. Isso é bem simples: é o tamanho da amostra menos 1. Então, com 12 cabos:
Graus de liberdade = n - 1 = 12 - 1 = 11

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 95% de confiança. Esses valores nos ajudam a estabelecer os limites do nosso intervalo. Como é um intervalo de confiança de 95%, a gente vai dividir a confiança igualmente nas duas caudas da distribuição (2,5% de cada lado).
Usando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou uma ferramenta online, encontramos:
chi^20,025, 11 approx 21,92 (limite superior)
chi^20,975, 11 approx 3,82 (limite inferior)

Passo 4

Com os valores críticos em mãos, vamos usar a fórmula para construir o intervalo de confiança da variância ( sigma^2):
(n - 1)S^2chi^2sup <= sigma^2 <= (n - 1)S^2chi^2inf
Substituindo os valores:
11 times (8,65)^221,92 <= sigma^2 <= 11 times (8,65)^23,82
Primeiro, calculamos S^2:
S^2 = (8,65)^2 = 74,82
Agora, vamos aos cálculos:
Para o limite inferior:
11 times 74,8221,92 approx 823,0221,92 approx 37,56
Para o limite superior:
11 times 74,823,82 approx 823,023,82 approx 215,23

Resposta

Então, o intervalo de confiança de 95% para a variância populacional dos cabos de aço é aproximadamente entre 37,56 kg² e 215,23 kg².

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