Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148
141
152
159
158
167
157
143
158
150
144
166
Construa um intervalo de
de confiança para os seguintes parâmetros:
Variância populacional.
148 | 141 | 152 | 159 | 158 | 167 | 157 | 143 | 158 | 150 | 144 | 166 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra de 12 cabos de aço com resistências diferentes e já sabemos a média (
) e o desvio padrão (
). O objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a variância da população desses cabos. Para isso, vamos precisar usar a distribuição qui-quadrado (
), que é ótima para lidar com variâncias quando a gente tem uma amostra pequena.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular os graus de liberdade. Isso é bem simples: é o tamanho da amostra menos 1. Então, com 12 cabos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 95% de confiança. Esses valores nos ajudam a estabelecer os limites do nosso intervalo. Como é um intervalo de confiança de 95%, a gente vai dividir a confiança igualmente nas duas caudas da distribuição (2,5% de cada lado).
Usando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou uma ferramenta online, encontramos:
Passo 4
Com os valores críticos em mãos, vamos usar a fórmula para construir o intervalo de confiança da variância (
):
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos aos cálculos:
Para o limite inferior:
Para o limite superior:
Resposta
Então, o intervalo de confiança de 95% para a variância populacional dos cabos de aço é aproximadamente entre 37,56 kg² e 215,23 kg².