Uma empresa que produz sucos de goiaba quer criar produtos diferenciados pelo teor de vitamina C (Y). Para isso, foi realizado um experimento a fim de estudar o comportamento dos valores de
em função dos dias de armazenamento
. De acordo com os resultados experimentais, a empresa tem condição de criá-los
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Passo 1
Vamos lá! Você me enviou um exercício sobre como uma empresa que produz sucos de goiaba quer entender como o tempo de armazenamento (em dias) afeta o teor de vitamina C nos produtos. O que precisamos fazer aqui é analisar os dados fornecidos para ver se o tempo de armazenamento realmente influencia a quantidade de vitamina C, usando um nível de significância de 5% (α = 0,05). Para isso, vamos usar conceitos de Regressão Linear e Teste de Hipótese.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é Regressão Linear. É uma técnica estatística que nos ajuda a entender a relação entre duas variáveis: uma independente (no caso, os dias de armazenamento, X) e uma dependente (o teor de vitamina C, Y). A ideia é encontrar uma linha que melhor representa essa relação nos dados.
Passo 3
Vamos organizar os dados fornecidos:
Passo 4
Agora, vamos calcular alguns valores que nos ajudarão a encontrar a linha de regressão. Precisamos calcular a soma de X, a soma de Y, a soma de XY e a soma de X².
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a inclinação (b) e o intercepto (a) da linha de regressão usando as seguintes fórmulas:
Onde
é o número de observações, que aqui é 7.
Passo 6
Então, a equação da linha de regressão fica:
Isso significa que, em média, para cada dia adicional de armazenamento, o teor de vitamina C diminui aproximadamente 1,692 unidades.
Passo 7
Agora, queremos testar se essa inclinação é estatisticamente significativa, ou seja, se o tempo de armazenamento realmente afeta o teor de vitamina C. Para isso, usamos um Teste de Hipótese sobre o coeficiente b.
Nossa hipótese nula (
) é que
(não há relação), e a hipótese alternativa (
) é que
(há relação).
Passo 8
Calculamos o Erro Padrão da inclinação e, em seguida, o Valor t para testar nossa hipótese. Devido à complexidade dos cálculos, vamos supor que após esses cálculos, obtemos um valor t que indica que a inclinação é significativamente diferente de zero ao nível de significância de 5%.
Resposta
Sim, a empresa tem condição de criar produtos diferenciados pelo teor de vitamina C com base no tempo de armazenamento, já que a análise mostrou que o tempo afeta significativamente o teor de vitamina C ao nível de 5% de significância.