Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm³ de desvio padrão de 10 m³. Admita que o volume siga uma distribuição normal.
(a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³?
(b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?
(a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³?
(b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que enche garrafas de refrigerante com um volume médio de 1000 cm³ e um desvio padrão de 10 cm³. A gente vai usar a distribuição normal para resolver as duas partes da questão. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal, usar a fórmula de padronização (transformar nossos valores em valores-z) e consultar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as porcentagens que a gente precisa.
Passo 2
Vamos começar com a letra a: Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³?
Primeiro, a gente precisa calcular o quanto 990 cm³ está abaixo da média em termos de desvios padrão. Para isso, usamos a fórmula do valor-z:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos analisando (990 cm³)
- $ \mu $ é a média (1000 cm³)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (10 cm³)
Substituindo os valores:
Agora, queremos saber a porcentagem de garrafas que têm um volume menor que 990 cm³, ou seja, a área à esquerda de $ z = -1 $ na curva normal. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a área correspondente a $ z = -1 $ é aproximadamente 15,87%.
Passo 3
Agora, vamos para a letra b: Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?
Aqui, a gente quer saber a porcentagem de garrafas que têm um volume entre $ \mu - 2\sigma $ e $ \mu + 2\sigma $. Primeiro, calculamos esses dois valores:
Então, queremos a porcentagem de garrafas com volume entre 980 cm³ e 1020 cm³. Isso corresponde a $ z $ entre -2 e +2.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
- A área de $ z \leq 2 $ é aproximadamente 97,72%
- A área de $ z \leq -2 $ é aproximadamente 2,28%
Para encontrar a porcentagem entre -2 e +2, subtraímos essas duas áreas:
Resposta
(a) Aproximadamente 15,87% das garrafas têm um volume menor que 990 cm³.
(b) Aproximadamente 95,44% das garrafas têm um volume que não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões.