Encolhe-se o braço do guindaste à razão constante de 0,203 m / s, ao mesmo tempo em que é abaixado à razão constante de 0,08 rad / s. Para theta=30^circ e comprimento de 7,62 m, determine (a) a velocidade do ponto B e (b) a sua aceleração. (4,5pontos).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um braço de guindaste que está sendo encolhido a uma taxa constante de 0,203 , m/s e, ao mesmo tempo, está sendo abaixado a uma taxa constante de 0,08 , rad/s. A gente precisa descobrir duas coisas para o ponto B quando o ângulo theta é 30^circ e o comprimento do braço é 7,62 , m:
(a) Qual é a velocidade do ponto B?
(b) Qual é a aceleração do ponto B?
Vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
  • $ r $ é o comprimento do braço do guindaste, que está mudando com o tempo.
  • $ \theta $ é o ângulo que o braço faz com a horizontal, que também está mudando com o tempo.
As taxas de variação são dadas por:
  • $ \frac{dr}{dt} = -0,203 , m/s $ (negativo porque o braço está encolhendo)
  • $ \frac{d\theta}{dt} = -0,08 , rad/s $ (negativo porque o braço está abaixando)

Passo 3

Para encontrar a velocidade do ponto B, usamos a fórmula da velocidade em coordenadas polares:
v = drdt , r + r dthetadt , theta
Aqui, $ \hat{r} $ é a direção radial e $ \hat{\theta} $ é a direção angular. Mas como queremos a velocidade total, vamos calcular o módulo dessa velocidade:
r

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos:
|v| = raiz(-0,203)^2 + (7,62 times -0,08)^2
Calculando cada parte:
(-0,203)^2 = 0,0412
7,62 times -0,08 = -0,6096
(-0,6096)^2 = 0,3716
Então:
|v| = raiz0,0412 + 0,3716 = raiz0,4128 approx 0,642 , m/s

Passo 5

Agora, para encontrar a aceleração do ponto B, usamos a fórmula da aceleração em coordenadas polares:
a = (d^2 rdt^2 - r (dthetadt)^2) r + (r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt) theta
Assumindo que as taxas de variação são constantes, as segundas derivadas serão zero:
d^2 rdt^2 = 0 e d^2 thetadt^2 = 0
Então, simplificando:
a = -r (dthetadt)^2 r + 2 drdt dthetadt theta

Passo 6

Vamos substituir os valores:
a = -7,62 times (-0,08)^2 , r + 2 times (-0,203) times (-0,08) , theta
Calculando cada parte:
(-0,08)^2 = 0,0064
-7,62 times 0,0064 = -0,0487 , r
2 times (-0,203) times (-0,08) = 0,0325 , theta
Então:
a = -0,0487 , r + 0,0325 , theta

Passo 7

Para encontrar o módulo da aceleração, usamos:
|a| = raiz(-0,0487)^2 + (0,0325)^2
Calculando cada parte:
(-0,0487)^2 = 0,00237
(0,0325)^2 = 0,001056
Então:
|a| = raiz0,00237 + 0,001056 = raiz0,003426 approx 0,0585 , m/s^2

Resposta

(a) A velocidade do ponto B é aproximadamente 0,642 , m/s.
(b) A aceleração do ponto B é aproximadamente 0,0585 , m/s^2.

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