Considere um átomo de Hidrogênio (
) de massa reduzida
, o elétron deste átomo encontra-se no estado com a função de onda radial
, com
e
. 0 potencial de interação entre o núcleo e o elétron é dado por
.
Calcule o raio médio para este estado.
Calcule o raio médio para este estado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um átomo de Hidrogênio e precisa calcular o raio médio do elétron no estado específico dado pela função de onda radial
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda e valores esperados. Precisaremos entender como calcular o valor médio de uma grandeza, que nesse caso é o raio
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o raio médio
é o valor esperado do raio, ou seja, é a média ponderada das posições possíveis do elétron. Matemáticamente, isso é calculado pela integral:
Aqui,
é a função de onda radial e
é o seu complexo conjugado. Como a função de onda é real, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão de
na integral. Temos:
Então, quadrando essa função:
Substituindo na integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos lembrar que a integral de
de 0 a infinito é dada pela fórmula do fatorial Gamma:
No nosso caso,
e
. Então:
Calculando
.
Passo 5
Agora, voltamos à expressão de
:
Para encontrar o valor de
, usamos a condição de normalização da função de onda:
Substituindo
:
Usando a mesma fórmula de antes, com
:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
O raio médio para esse estado é
, onde
é o raio de Bohr.