Considere um átomo de Hidrogênio ( Z=1 ) de massa reduzida mu, o elétron deste átomo encontra-se no estado com a função de onda radial R21(r)=A r e^-r / 2 a0, com n=2 e l=1. 0 potencial de interação entre o núcleo e o elétron é dado por V(r)=-hbar^2mu a0 1r.
Calcule o raio médio para este estado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um átomo de Hidrogênio e precisa calcular o raio médio do elétron no estado específico dado pela função de onda radial R21(r) = A r e^-r / 2 a0, onde n=2 e l=1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda e valores esperados. Precisaremos entender como calcular o valor médio de uma grandeza, que nesse caso é o raio r.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o raio médio lang<= r rang<= é o valor esperado do raio, ou seja, é a média ponderada das posições possíveis do elétron. Matemáticamente, isso é calculado pela integral:
lang<= r rang<= = integral0^infty R21^*(r) , r , R21(r) , r^2 dr
Aqui, R21(r) é a função de onda radial e R21^*(r) é o seu complexo conjugado. Como a função de onda é real, podemos simplificar para:
lang<= r rang<= = integral0^infty R21(r)^2 , r^3 dr

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de R21(r) na integral. Temos:
R21(r) = A r e^-r / 2 a0
Então, quadrando essa função:
R21(r)^2 = A^2 r^2 e^-r / a0
Substituindo na integral:
lang<= r rang<= = A^2 integral0^infty r^2 e^-r / a0 , r^3 dr = A^2 integral0^infty r^5 e^-r / a0 dr

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos lembrar que a integral de r^n e^-alpha r de 0 a infinito é dada pela fórmula do fatorial Gamma:
integral0^infty r^n e^-alpha r dr = n!alpha^n+1
No nosso caso, n=5 e alpha = 1/a0. Então:
integral0^infty r^5 e^-r / a0 dr = 5! , a0^6
Calculando 5! = 120.

Passo 5

Agora, voltamos à expressão de lang<= r rang<=:
lang<= r rang<= = A^2 times 120 , a0^6
Para encontrar o valor de A, usamos a condição de normalização da função de onda:
integral0^infty R21(r)^2 , r^2 dr = 1
Substituindo R21(r)^2:
A^2 integral0^infty r^4 e^-r / a0 dr = 1
Usando a mesma fórmula de antes, com n=4:
A^2 times 4! , a0^5 = 1 Rightarrow A^2 times 24 , a0^5 = 1 Rightarrow A^2 = 124 , a0^5

Passo 6

Substituindo A^2 na expressão de lang<= r rang<=:
lang<= r rang<= = 124 , a0^5 times 120 , a0^6 = 12024 , a0 = 5 , a0

Resposta

O raio médio para esse estado é 5 , a0, onde a0 é o raio de Bohr.

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