Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Isso faz parte do estudo de funções racionais e das suas assíntotas, que são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para resolver, vamos precisar analisar onde o denominador é zero (para encontrar as assíntotas verticais) e calcular o limite da função quando tende ao infinito (para as assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de que fazem o denominador ser zero, mas que não cancelam com o numerador (isso evitaria uma assíntota e criaria um ponto removível ou “buraco”).
O denominador da nossa função é . Vamos encontrar os valores de que anulam esse denominador:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas soluções realmente correspondem a assíntotas verticais. Para isso, vamos ver se esses valores de também anulam o numerador.
O numerador é . Vamos calcular para e :
Para :
Para :
Vemos que em , tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que significa que há um ponto removível nesse ponto, e não uma assíntota vertical. Já em , apenas o denominador é zero, então temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, calculamos o limite da função quando tende ao infinito e a menos infinito.
A função é:
Quando tende ao infinito, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Portanto, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por :
Então, a assíntota horizontal é .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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Determine:
Encontrar as derivadas laterais, das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os intervalos onde e .
b)
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
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