Encontre d/y d/x por derivação ímplícita. 2 * raiz(x) = raiz(y) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a usando derivação implícita. O enunciado nos dá a equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que envolvem raízes quadradas e como aplicar a derivação implícita quando as variáveis estão relacionadas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Aqui, está relacionado com de uma maneira que não está isolado, ou seja, não temos diretamente em função de . Por isso, usamos a derivação implícita.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar , usamos a regra do poder:
E para , como é uma função de , aplicamos a regra da cadeia:
Então, derivando ambos os lados:
Isso fica:

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Ou seja:

Passo 6

Mas sabemos que . Vamos usar esses valores para encontrar .
Primeiro, se , então .
Segundo, significa que , então .

Passo 7

Substituindo e na expressão para :

Resposta

A derivada de em relação a é .

Exercícios relacionados

C
C
C
Encontre d/y d/x por derivação ímplícita. x^3 + y^3 + 1