Encontre
por derivação ímplícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
usando derivação implícita. O enunciado nos dá a equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que envolvem raízes quadradas e como aplicar a derivação implícita quando as variáveis estão relacionadas dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Aqui,
está relacionado com
de uma maneira que não está isolado, ou seja, não temos
diretamente em função de
. Por isso, usamos a derivação implícita.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
, usamos a regra do poder:
E para
, como
é uma função de
, aplicamos a regra da cadeia:
Então, derivando ambos os lados:
Isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar a equação resultante:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 6
Mas sabemos que
. Vamos usar esses valores para encontrar
.
Primeiro, se
, então
.
Segundo,
significa que
, então
.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão para
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
.
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