Encontre d/y d/x por derivação ímplícita. x^3 + y^3 + 1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada usando derivação implícita para a equação . Isso envolve calcular como y muda em relação a x quando ambas estão relacionadas por essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde y está ligado a x de forma que não é fácil isolar y, usamos a derivação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a x:
  • A derivada de x^3 em relação a x é .
  • A derivada de em relação a x usa a regra da cadeia. Primeiro, derivamos em relação a y, que dá , e depois multiplicamos por . Então, a derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como 1, é 0.

Passo 4

Após derivar todos os termos, a equação fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Finalmente, dividimos ambos os lados por para resolver para :
Simplificando os fatores de :

Resposta

A derivada é igual a .

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C
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