Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos:
(iv) f(x)=(sin x)^-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = (\sin x)^{-4} $. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
f(x) = (sin x)^-4
Isso significa que estamos elevando o seno de x à potência de -4.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do poder, que nos diz como derivar funções da forma $ [g(x)]^n $. A regra é:
[g(x)]^n
Aqui, $ g(x) = \sin x $ e $ n = -4 $.

Passo 4

Vamos identificar cada parte:
  • $ n = -4 $
  • $ g(x) = \sin x $
  • A derivada de $ g(x) $, ou seja, $ g’(x) = \cos x $ (porque a derivada de seno é cosseno)

Passo 5

Aplicando a regra do poder:
f'(x) = -4 cdot (sin x)^-5 cdot cos x
Aqui, diminuímos o expoente em 1 (de -4 para -5) e multiplicamos pela derivada de $ \sin x $, que é $ \cos x $.

Passo 6

Podemos reescrever o resultado de forma mais clara:
f'(x) = -4 cdot cos x(sin x)^5
Ou, se preferir, usando uma notação com potência negativa:
f'(x) = -4 cos x cdot (sin x)^-5

Resposta

A derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $ é:
f(x) = (sin x)^-4

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