Encontre a equação da distribuição de temperaturas no interior elemento combustível, resolvendo a equação diferencial encontrada na letra a) e aplicando as condições de contorno pertinentes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação da distribuição de temperaturas dentro de um elemento combustível. Para isso, vamos resolver uma equação diferencial que, presumivelmente, foi apresentada na letra a) do exercício, e depois aplicar as condições de contorno apropriadas.
O conteúdo aqui envolve transferência de calor e equações diferenciais. Vamos precisar saber como resolver equações diferenciais ordinárias e entender como aplicar as condições de contorno para encontrar a solução específica para o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação diferencial que geralmente descreve a distribuição de temperatura em um material no estado estacionário (ou seja, sem variação no tempo). A equação básica da condução de calor em uma dimensão é:
d^2 T(x)dx^2 + Qk = 0
Aqui:
  • é a temperatura em função da posição .
  • é a geração de calor por unidade de volume.
  • é a condutividade térmica do material.
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que precisamos resolver para encontrar .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
d^2 T(x)dx^2 + Qk = 0
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a integração:
d^2 Tdx^2 = -Qk
Integrando uma vez em relação a dTdx = -Qk x + C1 :
Aqui, é uma constante de integração que iremos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos integrar novamente para encontrar T(x) = -Q2k x^2 + C1 x + C2 :
Agora, é outra constante de integração que também será determinada pelas condições de contorno.

Passo 5

Para encontrar as constantes T(0) = -Q2k (0)^2 + C1 (0) + C2 = T0 Rightarrow C2 = T0 e T(L) = -Q2k L^2 + C1 L + T0 = TL , precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no problema. Vamos supor que as condições de contorno são:
  1. A temperatura em C1 L = TL - T0 + Q2k L^2 Rightarrow C1 = TL - T0L + Q2k L é : .
  2. A temperatura em é : .
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos T(x) = -Q2k x^2 + ( TL - T0L + Q2k L ) x + T0 e T(x) = T0 + TL - T0L x - Q2k x^2 + Q2k L x , podemos escrever a solução completa para :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A equação da distribuição de temperaturas no interior do elemento combustível é:
T(x) = T0 + ( TL - T0L ) x - Q2k x^2 + Q L2k x
Essa equação descreve como a temperatura varia ao longo da posição dentro do elemento combustível, considerando a geração de calor interna e as condições de contorno estabelecidas.

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