Encontre a evolução forçada de estado e saída como resposta da entrada u(t)=e^-3 t de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a evolução forçada de estado e a saída de um sistema quando a entrada é . Isso envolve conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT), especificamente o uso de funções delta de Dirac e como elas afetam o estado e a saída do sistema. Para resolver, vamos precisar entender como a função delta atua como uma entrada e como a resposta do sistema é calculada a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a entrada . A função delta de Dirac, , é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela é infinita de tal forma que a integral sobre todo o tempo é 1. A notação indica um deslocamento no tempo, ou seja, , que ativa a entrada no instante .
No entanto, considerando que geralmente é não negativo em sistemas causais, esse deslocamento sugere que a entrada ocorre no tempo . Além disso, a entrada é multiplicada por , o que significa que a intensidade da entrada decresce exponencialmente com o tempo.

Passo 3

Para encontrar a evolução forçada de estado, usamos a equação de estado do sistema, que geralmente é dada por:
dotx(t) = A x(t) + B u(t)
E a saída é dada por:
y(t) = C x(t) + D u(t)
Como estamos interessados na resposta forçada, vamos considerar que a condição inicial .

Passo 4

A resposta forçada do estado pode ser encontrada integrando a contribuição da entrada ao longo do tempo. Para uma entrada com uma função delta deslocada, a integração simplifica significativamente, pois a função delta “ativa” a entrada em um instante específico.
Vamos considerar a solução para xf(t) = e^A(t - 1) B e^-3 cdot 1 para t >= 1 após a entrada ocorrer em :
Aqui, é a matriz exponencial que descreve a evolução do estado a partir do tempo .

Passo 5

A saída forçada yf(t) = C e^A(t - 1) B e^-3 para t >= 1 é então obtida substituindo na equação da saída:
Essa expressão nos dá a saída do sistema no tempo após a entrada ter sido aplicada no instante .

Resposta

A evolução forçada de estado e a saída para a entrada xf(t) = e^A(t - 1) B e^-3 cdot u(t - 1) são dadas por:
yf(t) = C e^A(t - 1) B e^-3 cdot u(t - 1)
onde é a função degrau unitário que ativa a resposta a partir de .

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