Encontre a evolução forçada de estado e saída como resposta da entrada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a evolução forçada de estado e a saída de um sistema quando a entrada é
. Isso envolve conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT), especificamente o uso de funções delta de Dirac e como elas afetam o estado e a saída do sistema. Para resolver, vamos precisar entender como a função delta atua como uma entrada e como a resposta do sistema é calculada a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a entrada
. A função delta de Dirac,
, é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela é infinita de tal forma que a integral sobre todo o tempo é 1. A notação
indica um deslocamento no tempo, ou seja,
, que ativa a entrada no instante
.
No entanto, considerando que
geralmente é não negativo em sistemas causais, esse deslocamento sugere que a entrada ocorre no tempo
. Além disso, a entrada é multiplicada por
, o que significa que a intensidade da entrada decresce exponencialmente com o tempo.
Passo 3
Para encontrar a evolução forçada de estado, usamos a equação de estado do sistema, que geralmente é dada por:
E a saída é dada por:
Como estamos interessados na resposta forçada, vamos considerar que a condição inicial
.
Passo 4
A resposta forçada do estado pode ser encontrada integrando a contribuição da entrada ao longo do tempo. Para uma entrada com uma função delta deslocada, a integração simplifica significativamente, pois a função delta “ativa” a entrada em um instante específico.
Vamos considerar a solução para
após a entrada ocorrer em
:
Aqui,
é a matriz exponencial que descreve a evolução do estado a partir do tempo
.
Passo 5
A saída forçada
é então obtida substituindo
na equação da saída:
Essa expressão nos dá a saída do sistema no tempo
após a entrada ter sido aplicada no instante
.
Resposta
A evolução forçada de estado e a saída para a entrada
são dadas por:
onde
é a função degrau unitário que ativa a resposta a partir de
.