Para alpha=1, encontre e plote as respostas ao degrau unitário e ao impulso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, com , encontrar e plotar as respostas ao degrau unitário e ao impulso de um sistema. Isso está relacionado ao estudo de sistemas dinâmicos e análise de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que são respostas ao impulso e ao degrau, além de usar algumas fórmulas básicas de transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a resposta ao impulso. A resposta ao impulso, , de um sistema é a saída do sistema quando a entrada é uma função impulso de Dirac, . Para sistemas lineares e invariantes no tempo, podemos encontrar usando a transformada inversa de Laplace da função de transferência do sistema.

Passo 3

A função de transferência típica de um sistema de primeira ordem é dada por:
H(s) = alphas + alpha
Com H(s) = 1s + 1 , a função de transferência fica:
Essa expressão nos ajudará a encontrar a resposta ao impulso e ao degrau.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a resposta ao impulso h(t) = L^-1 1s + 1 = e^-t cdot u(t) . Para isso, usamos a transformada inversa de Laplace de :
Onde é a função degrau unitário, que assegura que a resposta é zero para .

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a resposta ao degrau unitário Y(s) = H(s) cdot 1s = 1s(s + 1) . A resposta ao degrau é a saída do sistema quando a entrada é a função degrau unitário y(t) = 1 - e^-t cdot u(t) . No domínio da transformada de Laplace, a entrada degrau é , então:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :

Passo 6

Por fim, vamos descrever como seriam os gráficos dessas funções. A resposta ao impulso é uma curva decrescente que começa em 1 quando e se aproxima de zero conforme aumenta. Já a resposta ao degrau começa em 0 e aumenta exponencialmente, aproximando-se de 1 conforme aumenta.

Resposta

Para , a resposta ao impulso é e a resposta ao degrau unitário é . Os gráficos mostram que decresce exponencialmente, enquanto cresce exponencialmente até se estabilizar em 1.

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