Para
, encontre e plote as respostas ao degrau unitário e ao impulso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, com
, encontrar e plotar as respostas ao degrau unitário e ao impulso de um sistema. Isso está relacionado ao estudo de sistemas dinâmicos e análise de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que são respostas ao impulso e ao degrau, além de usar algumas fórmulas básicas de transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a resposta ao impulso. A resposta ao impulso,
, de um sistema é a saída do sistema quando a entrada é uma função impulso de Dirac,
. Para sistemas lineares e invariantes no tempo, podemos encontrar
usando a transformada inversa de Laplace da função de transferência do sistema.
Passo 3
A função de transferência típica de um sistema de primeira ordem é dada por:
Com
, a função de transferência fica:
Essa expressão nos ajudará a encontrar a resposta ao impulso e ao degrau.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a resposta ao impulso
. Para isso, usamos a transformada inversa de Laplace de
:
Onde
é a função degrau unitário, que assegura que a resposta é zero para
.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a resposta ao degrau unitário
. A resposta ao degrau é a saída do sistema quando a entrada é a função degrau unitário
. No domínio da transformada de Laplace, a entrada degrau é
, então:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Passo 6
Por fim, vamos descrever como seriam os gráficos dessas funções. A resposta ao impulso
é uma curva decrescente que começa em 1 quando
e se aproxima de zero conforme
aumenta. Já a resposta ao degrau
começa em 0 e aumenta exponencialmente, aproximando-se de 1 conforme
aumenta.
Resposta
Para
, a resposta ao impulso é
e a resposta ao degrau unitário é
. Os gráficos mostram que
decresce exponencialmente, enquanto
cresce exponencialmente até se estabilizar em 1.