Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares: T(x, y, z)=x^4+2 x^2 y^2-3 z+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) = x^{4} + 2x{2}y{2} - 3z + 2 $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente relacionado a operadores diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o laplaciano e como calculá-lo para uma função de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função escalar $ T(x, y, z) $ é um operador que envolve as segundas derivadas parciais dessa função em relação às suas variáveis. Matematicamente, é representado por:
T(x, y, z)
Ou seja, precisamos calcular as segundas derivadas de $ T $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ e somá-las.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ T $ em relação a $ x $:
T
Calculando cada termo:
x
partial Tpartial x = partialpartial x(x^4) + partialpartial x(2x^2y^2) + partialpartial x(-3z) + partialpartial x(2)
partialpartial x(x^4) = 4x^3 éçã
partialpartial x(2x^2y^2) = 4xy^2
Então,
partialpartial x(-3z) = 0 (porque z é tratado como constante em relação a x)
Agora, a segunda derivada em relação a $ x $:
partialpartial x(2) = 0

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa para $ y $. Primeiro, a primeira derivada de $ T $ em relação a $ y $:
y
Calculando cada termo:
T
y
partial Tpartial y = partialpartial y(x^4) + partialpartial y(2x^2y^2) + partialpartial y(-3z) + partialpartial y(2)
partialpartial y(x^4) = 0
Então,
partialpartial y(2x^2y^2) = 4x^2y
Agora, a segunda derivada em relação a $ y $:
partialpartial y(-3z) = 0

Passo 5

Por último, vamos calcular as derivadas em relação a $ z $. Primeira derivada de $ T $ em relação a $ z $:
z
Calculando cada termo:
T
z
partial Tpartial z = partialpartial z(x^4) + partialpartial z(2x^2y^2) + partialpartial z(-3z) + partialpartial z(2)
partialpartial z(x^4) = 0
Então,
partialpartial z(2x^2y^2) = 0
Agora, a segunda derivada em relação a $ z $:
partialpartial z(-3z) = -3

Resposta

Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somá-las para obter o laplaciano:
nabla^2 T = partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 = (12x^2 + 4y^2) + 4x^2 + 0 = 16x^2 + 4y^2
Então, o laplaciano de $ T(x, y, z) $ é:
T(x, y, z)

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