Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais: V(x, y, z)=x y^2 imath+2 x z jmath+3 y z k.
6. Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
(i) T(x, y, z)=x^4+2 x^2 y^2-3 z+2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar o laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) = x^{4} + 2x{2}y{2} - 3z + 2 $. O laplaciano é uma operação matemática que, basicamente, mede a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a cada uma das suas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender a definição do laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do laplaciano para uma função $ T(x, y, z) $:
T(x, y, z)
Ou seja, a gente calcula a segunda derivada de $ T $ em relação a $ x $, depois em relação a $ y $, e depois em relação a $ z $, e soma tudo isso.

Passo 3

Vamos começar calculando a segunda derivada de $ T $ em relação a $ x $:
T
Primeira derivada em relação a $ x $:
x
Agora, a segunda derivada em relação a $ x $:
T(x, y, z) = x^4 + 2x^2y^2 - 3z + 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ T $ em relação a $ y $:
Primeira derivada em relação a $ y $:
T
Segunda derivada em relação a $ y $:
y

Passo 5

Por último, vamos calcular a segunda derivada de $ T $ em relação a $ z $:
Primeira derivada em relação a $ z $:
T
Segunda derivada em relação a $ z $:
z
Pois a derivada de uma constante ( z ) é zero.

Passo 6

Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somar elas para encontrar o laplaciano:
nabla^2 T = (12x^2 + 4y^2) + 4x^2 + 0 = 16x^2 + 4y^2

Resposta

O laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) $ é:
T(x, y, z)

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