Encontre a mediatriz do segmento  ab sendo a(4,5) e b(-2,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a mediatriz do segmento AB, onde os pontos A têm coordenadas (4, 5) e B têm coordenadas (-2, 1). A mediatriz é uma reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular a ele. Para resolver isso, vamos precisar calcular o ponto médio de AB e a inclinação da reta AB para depois determinar a inclinação da mediatriz.

Passo 2

Vamos começar calculando o ponto médio do segmento AB. A fórmula para encontrar o ponto médio M(xm, ym) entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é:
xm = x1 + x22, ym = y1 + y22
Substituindo as coordenadas de A(4, 5) e B(-2, 1):
xm = 4 + (-2)2 = 22 = 1
ym = 5 + 12 = 62 = 3
Então, o ponto médio M é (1, 3).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta AB. A inclinação m entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando as coordenadas de A(4, 5) e B(-2, 1):
mAB = 1 - 5-2 - 4 = -4-6 = 23
A inclinação da reta AB é 23.

Passo 4

A mediatriz precisa ser perpendicular à reta AB. Quando duas retas são perpendiculares, a inclinação de uma é o negativo do inverso da outra. Se a inclinação de AB é 23, então a inclinação mmediatriz da mediatriz será:
mmediatriz = -123 = -32

Passo 5

Agora que temos a inclinação da mediatriz e o ponto por onde ela passa (ponto médio M(1, 3)), podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da mediatriz. A fórmula é:
y - ym = mmediatriz(x - xm)
Substituindo os valores:
y - 3 = -32(x - 1)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma geral y = mx + b:
y - 3 = -32x + 32
y = -32x + 32 + 3
y = -32x + 32 + 62
y = -32x + 92

Resposta

A equação da mediatriz do segmento AB é:
y = -32x + 92

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