Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial y+4x2 y+4y= cosx tenha solução única para um problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os intervalos nos quais podemos garantir que a equação diferencial $ y’ + 4x^2 y + 4y = \cos x $ tem uma solução única para um problema de valor inicial. A matéria envolvida aqui é a Teoria das Equações Diferenciais de Primeiro Grau, mais especificamente o Teorema da Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar onde os coeficientes da equação são contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. Podemos agrupar os termos com $ y $:
Aqui, temos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeiro grau:
onde $ P(x) = 4x^2 + 4 $ e $ Q(x) = \cos x $.
Passo 3
O Teorema da Existência e Unicidade nos diz que, se $ P(x) $ e $ Q(x) $ são contínuos em um intervalo que contém o ponto inicial, então existe exatamente uma solução para a equação diferencial nesse intervalo. Então, precisamos verificar onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são contínuos.
Passo 4
Vamos analisar $ P(x) = 4x^2 + 4 $. Essa é uma função polinomial, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o domínio, que nesse caso é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).
Passo 5
Agora, vamos ver $ Q(x) = \cos x $. A função cosseno também é contínua para todo $ x $ em $ \mathbb{R} $.
Passo 6
Como tanto $ P(x) $ quanto $ Q(x) $ são contínuos em todo o domínio dos números reais, podemos garantir, pelo Teorema da Existência e Unicidade, que a equação diferencial $ y’ + 4x^2 y + 4y = \cos x $ tem uma solução única para qualquer valor inicial $ y(x_0) = y_0 $ em qualquer intervalo de $ \mathbb{R} $.
Resposta
A equação diferencial $ y’ + 4x^2 y + 4y = \cos x $ possui solução única para qualquer problema de valor inicial em todo o conjunto dos números reais, ou seja, em qualquer intervalo de $ \mathbb{R} $.