Encontre todos os elementos positivos (em base dez), a cardinalidade, a região de overflow e a região de underflow para o sistema de ponto flutuante F(10,3,-3,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com sistemas de ponto flutuante, que são formas de representar números reais de maneira eficiente em computadores. Aqui, a gente tem um sistema específico: F(10,3,-3,3). Isso significa que a base é 10, temos 3 dígitos na mantissa, e os expoentes vão de -3 até 3. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar todos os elementos positivos que esse sistema pode representar.
  2. Descobrir quantos elementos existem nesse conjunto (a cardinalidade).
  3. Identificar a região de overflow, que são os números que ficam além do maior número que conseguimos representar.
  4. Identificar a região de underflow, que são os números que ficam abaixo do menor número positivo que conseguimos representar.
Vamos precisar entender como funciona a representação em ponto flutuante e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os números são representados nesse sistema. Em ponto flutuante, um número positivo pode ser escrito como:
N = M times 10^E
Onde:
  • M é a mantissa, que tem 3 dígitos no nosso caso (porque p=3).
  • E é o expoente, que pode variar entre -3 e 3.
Como a base é 10, a mantissa deve estar normalizada, ou seja, o primeiro dígito da mantissa deve ser diferente de zero. Assim, a mantissa varia de 1.00 até 9.99.

Passo 3

Agora, vamos listar todos os elementos positivos que o sistema pode representar. Para cada valor de E entre -3 e 3, teremos mantissas de 1.00 a 9.99. Então, cada combinação de mantissa e expoente gera um número único.
Por exemplo:
  • Para E = -3, temos números como 1.00 times 10^-3, 1.01 times 10^-3, …, 9.99 times 10^-3.
  • Para E = 0, temos 1.00 times 10^0, 1.01 times 10^0, …, 9.99 times 10^0.
  • E assim por diante, até E = 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular a cardinalidade, ou seja, quantos números diferentes podemos representar nesse sistema. Para cada valor de E, temos mantissas de 1.00 até 9.99 com 3 dígitos. Isso significa que para cada E, temos 900 possibilidades (de 100 até 999 quando multiplicamos por 10^2 para eliminar o decimal).
Como existem 7 valores possíveis para E (de -3 a 3), o total de números positivos representáveis é:
900 mantissas times 7 expoentes = 6300 números ú

Passo 5

Vamos identificar agora a região de overflow. Essa região consiste nos números que são maiores do que o maior número que nosso sistema pode representar. O maior número ocorre quando a mantissa está no máximo (9.99) e o expoente também está no máximo (3):
Nmáximo = 9.99 times 10^3 = 9990 á
Portanto, qualquer número maior que 9990 fará parte da região de overflow.

Passo 6

Por último, vamos determinar a região de underflow. Essa é composta pelos números que são menores do que o menor número positivo que nosso sistema pode representar. O menor número ocorre quando a mantissa está no mínimo (1.00) e o expoente também está no mínimo (-3):
Nmínimo = 1.00 times 10^-3 = 0.001 í
Assim, qualquer número menor que 0.001 estará na região de underflow.

Resposta

  • Elementos positivos: Todos os números da forma M times 10^E, onde M varia de 1.00 a 9.99 e E de -3 a 3.
  • Cardinalidade: 6300 elementos.
  • Região de overflow: Números maiores que 9990.
  • Região de underflow: Números menores que 0.001.

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