Encontre todos os elementos positivos (em base dez), a cardinalidade, a região de overflow e a região de underflow para o sistema de ponto flutuante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com sistemas de ponto flutuante, que são formas de representar números reais de maneira eficiente em computadores. Aqui, a gente tem um sistema específico:
. Isso significa que a base é 10, temos 3 dígitos na mantissa, e os expoentes vão de -3 até 3. Nosso objetivo é:
- Encontrar todos os elementos positivos que esse sistema pode representar.
- Descobrir quantos elementos existem nesse conjunto (a cardinalidade).
- Identificar a região de overflow, que são os números que ficam além do maior número que conseguimos representar.
- Identificar a região de underflow, que são os números que ficam abaixo do menor número positivo que conseguimos representar.
Vamos precisar entender como funciona a representação em ponto flutuante e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os números são representados nesse sistema. Em ponto flutuante, um número positivo pode ser escrito como:
Onde:
- M é a mantissa, que tem 3 dígitos no nosso caso (porque
). - E é o expoente, que pode variar entre -3 e 3.
Como a base é 10, a mantissa deve estar normalizada, ou seja, o primeiro dígito da mantissa deve ser diferente de zero. Assim, a mantissa varia de 1.00 até 9.99.
Passo 3
Agora, vamos listar todos os elementos positivos que o sistema pode representar. Para cada valor de E entre -3 e 3, teremos mantissas de 1.00 a 9.99. Então, cada combinação de mantissa e expoente gera um número único.
Por exemplo:
- Para
, temos números como , , …, . - Para
, temos , , …, . - E assim por diante, até
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a cardinalidade, ou seja, quantos números diferentes podemos representar nesse sistema. Para cada valor de E, temos mantissas de 1.00 até 9.99 com 3 dígitos. Isso significa que para cada E, temos 900 possibilidades (de 100 até 999 quando multiplicamos por 10^2 para eliminar o decimal).
Como existem 7 valores possíveis para E (de -3 a 3), o total de números positivos representáveis é:
Passo 5
Vamos identificar agora a região de overflow. Essa região consiste nos números que são maiores do que o maior número que nosso sistema pode representar. O maior número ocorre quando a mantissa está no máximo (9.99) e o expoente também está no máximo (3):
Portanto, qualquer número maior que 9990 fará parte da região de overflow.
Passo 6
Por último, vamos determinar a região de underflow. Essa é composta pelos números que são menores do que o menor número positivo que nosso sistema pode representar. O menor número ocorre quando a mantissa está no mínimo (1.00) e o expoente também está no mínimo (-3):
Assim, qualquer número menor que 0.001 estará na região de underflow.
Resposta
- Elementos positivos: Todos os números da forma
, onde varia de 1.00 a 9.99 e de -3 a 3. - Cardinalidade: 6300 elementos.
- Região de overflow: Números maiores que 9990.
- Região de underflow: Números menores que 0.001.