Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
f(x)=x^3+3 x-2, phi(x)=2-x^33, x0=0, varepsilon=10^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método do ponto fixo. Pra isso, a gente vai usar a função e começar com . O critério de parada é quando ou após no máximo 20 iterações. Se der alguma divergência, a gente justifica o que rolou. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método do ponto fixo. Basicamente, a gente reescreve a equação na forma e usa iterativamente essa função para aproximar a raiz. Aqui, já nos deram .

Passo 3

Vamos começar com o ponto inicial x1 = phi(x0) = 2 - (0)^33 = 23 approx 0,6667 . Vamos calcular usando a função :

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x1) = (0,6667)^3 + 3 times 0,6667 - 2 approx 0,2963 + 2 - 2 = 0,2963 para ver se já atendemos o critério de parada:
Como , precisamos continuar.

Passo 5

Calculando x2 = phi(x1) = 2 - (0,6667)^33 approx 2 - 0,29633 approx 1,70373 approx 0,5679 :

Passo 6

Calculando f(x2) = (0,5679)^3 + 3 times 0,5679 - 2 approx 0,1836 + 1,7037 - 2 approx -0,1127 :
Como , seguimos.

Passo 7

Calculando x3 = phi(x2) = 2 - (0,5679)^33 approx 2 - 0,18363 approx 1,81643 approx 0,6055 :

Passo 8

Calculando f(x3) = (0,6055)^3 + 3 times 0,6055 - 2 approx 0,2214 + 1,8165 - 2 approx 0,0379 :
Como , continuamos.

Passo 9

Calculando x4 = phi(x3) = 2 - (0,6055)^33 approx 2 - 0,22143 approx 1,77863 approx 0,5929 :

Passo 10

Calculando f(x4) = (0,5929)^3 + 3 times 0,5929 - 2 approx 0,2089 + 1,7787 - 2 approx -0,0124 :
Como , vamos para a próxima iteração.

Passo 11

Calculando x5 = phi(x4) = 2 - (0,5929)^33 approx 2 - 0,20893 approx 1,79113 approx 0,5970 :

Passo 12

Calculando f(x5) = (0,5970)^3 + 3 times 0,5970 - 2 approx 0,2123 + 1,7910 - 2 approx 0,0033 :
Como , ainda não atingimos o critério.

Passo 13

Calculando x6 = phi(x5) = 2 - (0,5970)^33 approx 2 - 0,21233 approx 1,78773 approx 0,5959 :

Passo 14

Calculando f(x6) = (0,5959)^3 + 3 times 0,5959 - 2 approx 0,2110 + 1,7877 - 2 approx -0,0013 :
Como , seguimos.

Passo 15

Calculando x7 = phi(x6) = 2 - (0,5959)^33 approx 2 - 0,21103 approx 1,78903 approx 0,5963 :

Passo 16

Calculando f(x7) = (0,5963)^3 + 3 times 0,5963 - 2 approx 0,2117 + 1,7889 - 2 approx 0,0006 :
Agora, , então paramos aqui!

Resposta

A raiz aproximada da função encontrada pelo método do ponto fixo é .

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