Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
f(x)=x-cos (x), phi(x)=cos (x), x0=12, varepsilon=10^-3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a raiz da função usando o método do ponto fixo. Para isso, vamos usar a função e começar com o ponto inicial . Nosso critério de parada será quando ou após no máximo 20 iterações. O conteúdo que vamos usar aqui é o método do ponto fixo, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações.

Passo 2

O método do ponto fixo funciona assim: começamos com um valor inicial xn+1 = phi(xn) = cos(xn) e aplicamos a função para encontrar o próximo valor . Isso é feito através da fórmula:
Repetimos esse processo até que a condição de parada seja atendida ou até chegarmos a 20 iterações.

Passo 3

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
x1 = phi(x0) = cos(12) approx 0.877583
Calculamos f(x1) approx 0.877583 - cos(0.877583) approx 0.877583 - 0.639012 approx 0.238571 :
Como , continuamos.

Passo 4

Iteração 2:
x2 = phi(x1) = cos(0.877583) approx 0.639012
Calculamos f(x2) approx 0.639012 - cos(0.639012) approx 0.639012 - 0.802685 approx -0.163673 :
Como , continuamos.

Passo 5

Iteração 3:
x3 = phi(x2) = cos(0.639012) approx 0.802685
Calculamos f(x3) approx 0.802685 - cos(0.802685) approx 0.802685 - 0.696702 approx 0.105983 :
Como , continuamos.

Passo 6

Iteração 4:
x4 = phi(x3) = cos(0.802685) approx 0.696702
Calculamos f(x4) approx 0.696702 - cos(0.696702) approx 0.696702 - 0.768194 approx -0.071492 :
Como , continuamos.

Passo 7

Iteração 5:
x5 = phi(x4) = cos(0.696702) approx 0.768194
Calculamos f(x5) approx 0.768194 - cos(0.768194) approx 0.768194 - 0.718247 approx 0.049947 :
Como , continuamos.

Passo 8

Iteração 6:
x6 = phi(x5) = cos(0.768194) approx 0.718247
Calculamos f(x6) approx 0.718247 - cos(0.718247) approx 0.718247 - 0.752252 approx -0.034005 :
Como , continuamos.

Passo 9

Iteração 7:
x7 = phi(x6) = cos(0.718247) approx 0.752252
Calculamos f(x7) approx 0.752252 - cos(0.752252) approx 0.752252 - 0.730276 approx 0.021976 :
Como , continuamos.

Passo 10

Iteração 8:
x8 = phi(x7) = cos(0.752252) approx 0.730276
Calculamos f(x8) approx 0.730276 - cos(0.730276) approx 0.730276 - 0.745889 approx -0.015613 :
Como , continuamos.

Passo 11

Iteração 9:
x9 = phi(x8) = cos(0.730276) approx 0.745889
Calculamos f(x9) approx 0.745889 - cos(0.745889) approx 0.745889 - 0.735147 approx 0.010742 :
Como , continuamos.

Passo 12

Iteração 10:
x10 = phi(x9) = cos(0.745889) approx 0.735147
Calculamos f(x10) approx 0.735147 - cos(0.735147) approx 0.735147 - 0.741310 approx -0.006163 :
Como , continuamos.

Passo 13

Iteração 11:
x11 = phi(x10) = cos(0.735147) approx 0.741310
Calculamos f(x11) approx 0.741310 - cos(0.741310) approx 0.741310 - 0.737394 approx 0.003916 :
Como , continuamos.

Passo 14

Iteração 12:
x12 = phi(x11) = cos(0.741310) approx 0.737394
Calculamos f(x12) approx 0.737394 - cos(0.737394) approx 0.737394 - 0.739027 approx -0.001633 :
Como , continuamos.

Passo 15

Iteração 13:
x13 = phi(x12) = cos(0.737394) approx 0.739027
Calculamos f(x13) approx 0.739027 - cos(0.739027) approx 0.739027 - 0.738228 approx 0.000799 :
Agora, , então atingimos o critério de parada.

Resposta

O zero da função encontrado pelo método do ponto fixo é aproximadamente .

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