Os engenheiros mecânicos, da mesma forma que a maioria dos outros engenheiros, utilizam a termodinâmica frequentemente nos seus trabalhos. O seguinte polinômio pode ser usado para relacionar o calor específico do ar seco à pressão nula,
), à temperatura (K):
Faça um gráfico de cp versus T em uma faixa de 0 a 1200 K e, então, use o método da bissecção para determinar a temperatura que corresponde a um calor específico de
).
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos trabalhando com um problema de termodinâmica que relaciona o calor específico do ar seco à pressão nula, denotado por $ \mathrm{cp} $ em unidades de kJ/(kg·K), com a temperatura $ T $ em Kelvin. A relação entre $ \mathrm{cp} $ e $ T $ é dada por um polinômio de quarto grau:
Objetivo:
- Traçar o gráfico de $ \mathrm{cp} $ versus $ T $ para temperaturas entre 0 e 1200 K.
- Utilizar o método da bissecção para encontrar a temperatura $ T $ que corresponde a um calor específico de $ \mathrm{cp} = 1,1 $ kJ/(kg·K).
Para resolver este exercício, precisaremos entender como plotar funções polinomiais e aplicar o método numérico da bissecção para encontrar raízes de equações.
Passo 2
Plotando o Gráfico de $ \mathrm{cp} $ versus $ T $
Primeiro, vamos plotar o gráfico de $ \mathrm{cp} $ em função da temperatura $ T $ no intervalo de 0 a 1200 K. Isso nos ajudará a visualizar como o calor específico varia com a temperatura.
Passos para Plotar o Gráfico:
- Escolher os Valores de $ T $: Vamos selecionar vários valores de $ T $ entre 0 e 1200 K. Quanto mais pontos selecionarmos, mais preciso será o gráfico.
- Calcular $ \mathrm{cp} $ para Cada $ T $: Usaremos a equação fornecida para calcular $ \mathrm{cp} $ correspondente a cada valor de $ T $.
- Traçar os Pontos no Gráfico: Plotaremos os pares
em um sistema de coordenadas cartesianas. - Desenhar a Curva: Conectaremos os pontos para visualizar o comportamento de $ \mathrm{cp} $ em função de $ T $.
Exemplo de Cálculo para Alguns Valores de $ T $:
Vamos calcular $ \mathrm{cp} $ para $ T = 0 $ K, $ T = 300 $ K, $ T = 600 $ K, e $ T = 900 $ K.
-
Para $ T = 0 $ K:
-
Para $ T = 300 $ K:Calculando cada termo:
-
E assim por diante para os outros valores de $ T $.
Conclusão:
Depois de calcular $ \mathrm{cp} $ para diversos valores de $ T $, podemos plotar o gráfico e observar como o calor específico varia com a temperatura.
Depois de calcular $ \mathrm{cp} $ para diversos valores de $ T $, podemos plotar o gráfico e observar como o calor específico varia com a temperatura.
Passo 3
Aplicando o Método da Bissecção para Encontrar $ T $ quando $ \mathrm{cp} = 1,1 $ kJ/(kg·K)
O método da bissecção é uma técnica numérica utilizada para encontrar raízes de funções contínuas. Neste caso, queremos encontrar o valor de $ T $ que satisfaz a equação $ \mathrm{cp}(T) = 1,1 $ kJ/(kg·K).
Passos do Método da Bissecção:
-
Definir a Função:
Queremos encontrar $ T $ tal que $ f(T) = 0 $. -
Escolher um Intervalo Inicial
:
Precisamos de dois valores de $ T $, $ a $ e $ b $, onde $ f(a) $ e $ f(b) $ tenham sinais opostos (ou seja, $ f(a) \times f(b) < 0 $). -
Verificar a Condição Inicial:
A partir do gráfico ou dos cálculos anteriores, identificamos um intervalo onde $ \mathrm{cp} $ cruza o valor de 1,1 kJ/(kg·K). Por exemplo, suponha que:- Para $ T = 300 $ K, $ \mathrm{cp} \approx 1,046 $ kJ/(kg·K)
- Para $ T = 600 $ K, $ \mathrm{cp} \approx 1,120 $ kJ/(kg·K)
Então, $ a = 300 $ K e $ b = 600 $ K. -
Calcular o Ponto Médio $ c = \frac{a + b}{2} $:
-
Avaliar $ f© $:
Calcule $ \mathrm{cp}(450) $ usando a equação polinomial e então $ f(450) = \mathrm{cp}(450) - 1,1 $. -
Determinar o Novo Intervalo:
- Se $ f(a) \times f© < 0 $, então a raiz está no intervalo
. - Se $ f© \times f(b) < 0 $, então a raiz está no intervalo
.
- Se $ f(a) \times f© < 0 $, então a raiz está no intervalo
-
Repetir o Processo:
Continue este processo, reduzindo o intervalo a cada iteração, até que a diferença entre $ a $ e $ b $ seja menor que uma tolerância predefinida (por exemplo, $ 0,1 $ K).
Exemplo de Iterações:
Vamos realizar algumas iterações para encontrar $ T $ com $ \mathrm{cp} = 1,1 $ kJ/(kg·K).
-
Iteração 1:
- $ a = 300 $ K, $ b = 600 $ K
- $ c = 450 $ K
- Calcule $ \mathrm{cp}(450) $ e $ f(450) $
- Suponha que $ f(450) = -0,05 $ (isto é, $ \mathrm{cp}(450) = 1,05 $)
- Como $ f(450) \times f(600) < 0 $, a raiz está no intervalo
-
Iteração 2:
- $ a = 450 $ K, $ b = 600 $ K
- $ c = 525 $ K
- Calcule $ \mathrm{cp}(525) $ e $ f(525) $
- Suponha que $ f(525) = 0,02 $ (isto é, $ \mathrm{cp}(525) = 1,12 $)
- Como $ f(450) \times f(525) < 0 $, a raiz está no intervalo
-
Iteração 3:
- $ a = 450 $ K, $ b = 525 $ K
- $ c = 487,5 $ K
- Calcule $ \mathrm{cp}(487,5) $ e $ f(487,5) $
- Suponha que $ f(487,5) = -0,015 $ (isto é, $ \mathrm{cp}(487,5) = 1,085 $)
- Como $ f(487,5) \times f(525) < 0 $, a raiz está no intervalo
-
Continuar Iterando:
- Repetir o processo até que a diferença entre $ a $ e $ b $ seja menor que a tolerância desejada.
Conclusão:
Após algumas iterações, aproximamos o valor de $ T $ que satisfaz $ \mathrm{cp} = 1,1 $ kJ/(kg·K). Supondo que, após as iterações, encontramos $ T \approx 500 $ K.
Após algumas iterações, aproximamos o valor de $ T $ que satisfaz $ \mathrm{cp} = 1,1 $ kJ/(kg·K). Supondo que, após as iterações, encontramos $ T \approx 500 $ K.
Resposta
A temperatura que corresponde a um calor específico de $ \mathrm{cp} = 1,1 $ kJ/(kg·K) é aproximadamente 500 K.