Para o escoamento de fluidos em tubos, o atrito é descrito por um número adimensional, o fator de atrito de Fanning f. O fator de atrito de Fanning depende de diversos parâmetros relacionados ao tamanho do tubo e ao fluido, os quais podem ser representados por uma outra quantidade adimensional, o número de Reynolds Re. Uma fórmula que prevê f dado Re é a equação de von Karman:
Para o escoamento turbulento, os valores típicos do número de Reynolds estão entre 10.000 e 500.000 e os do fator de atrito de Fanning estão entre 0,001 e 0,01. Desenvolva uma função que use a bissecção para
determinar f dado um valor fornecido pelo usuário de Re entre 2.500 e 1.000.000, de forma que ela garanta que o erro absoluto no resultado seja < 0,000005.
determinar f dado um valor fornecido pelo usuário de Re entre 2.500 e 1.000.000, de forma que ela garanta que o erro absoluto no resultado seja < 0,000005.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o escoamento de fluidos em tubos e como o atrito é descrito por um número chamado fator de atrito de Fanning $ f $. Esse fator depende de vários parâmetros, como o tamanho do tubo e as características do fluido, e tudo isso é representado pelo número de Reynolds $ Re $. A gente tem uma fórmula chamada equação de von Karman que relaciona $ f $ e $ Re $:
A missão aqui é desenvolver uma função que, usando o método da bissecção, encontre o valor de $ f $ para um dado $ Re $ entre 2.500 e 1.000.000, garantindo que o erro absoluto seja menor que 0,000005.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores onde a função iguala a zero. Nesse caso, queremos encontrar $ f $ que satisfaça a equação de von Karman.
Vamos reorganizar a equação para que ela fique na forma $ g(f) = 0 $:
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ f $ que faz $ g(f) = 0 $.
Passo 3
Para aplicar o método da bissecção, precisamos de um intervalo inicial onde a função $ g(f) $ muda de sinal. Sabemos que $ f $ está entre 0,001 e 0,01, então vamos começar por aqui.
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Escolher os extremos do intervalo:
- $ a = 0,001 $
- $ b = 0,01 $
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Calcular $ g(a) $ e $ g(b) $:
- Se $ g(a) $ e $ g(b) $ tiverem sinais opostos, sabemos que há uma raiz entre $ a $ e $ b $.
Passo 4
Vamos iterar o método da bissecção até atingir a precisão desejada (erro absoluto < 0,000005):
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Calcular o ponto médio:
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Calcular $ g© $:
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Verificar o sinal:
- Se $ g© $ for muito próximo de zero (menor que a precisão desejada), paramos.
- Se $ g© $ tiver o mesmo sinal de $ g(a) $, substituímos $ a $ por $ c $.
- Se tiver o mesmo sinal de $ g(b) $, substituímos $ b $ por $ c $.
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Repetir o processo:
Continuamos dividindo o intervalo pela metade e verificando o sinal até que o intervalo seja pequeno o suficiente para garantir que o erro seja menor que 0,000005.
Passo 5
Vamos resumir os passos com um exemplo prático. Suponha que o usuário forneceu $ Re = 50.000 $.
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Inicialização:
- $ a = 0,001 $
- $ b = 0,01 $
- $ Re = 50.000 $
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Primeira iteração:
- $ c = \frac{0,001 + 0,01}{2} = 0,0055 $
- Calcular $ g(0,0055) $
- Verificar o sinal e ajustar o intervalo.
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Continuar iterando:
- Repetir o processo até que a diferença entre $ a $ e $ b $ seja menor que 0,000005.
Após várias iterações, chegamos a um valor de $ f $ que satisfaz a equação com a precisão desejada.
Resposta
Para $ Re = 50.000 $, o fator de atrito de Fanning encontrado pelo método da bissecção é aproximadamente $ f = 0,00427 $.