No ensino médio é ensinado que o campo elétrico na superfície de uma esfera condutora carregada com densidade superficial de carga
é igual a
. De onde veio esta afirmação já que sabemos que não é possível calcular o campo elétrico usando a lei de Coulomb pois existe uma descontinuidade quando se atravessa a distribuição de cargas? Faça este cálculo. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o campo elétrico na superfície de uma esfera condutora carregada com densidade superficial de carga
. A gente aprendeu que esse campo é
. Mas como chegou nessa fórmula se a Lei de Coulomb não serve direto por causa da descontinuidade quando atravessamos a carga? Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, porque ela é mais adequada para situações com simetria como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
:
Essa lei é super útil quando temos simetria esférica, plana ou cilíndrica.
Passo 3
No caso da esfera condutora, a carga está distribuída uniformemente na superfície. Vamos imaginar uma superfície gaussiana que é uma esfera de raio
, igual ao da nossa esfera condutora. Como a carga está na superfície, toda a carga
está dentro da nossa superfície gaussiana.
Passo 4
Agora, pela simetria, o campo elétrico
é radial e tem a mesma intensidade em todo ponto da superfície gaussiana. Então, a integral da Lei de Gauss fica:
Aqui,
é a área da superfície da esfera gaussiana.
Passo 5
Vamos relacionar a carga total
com a densidade superficial de carga
. Sabemos que:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 6
Simplificando os termos
de ambos os lados, temos:
Esse é o campo elétrico fora da superfície da esfera.
Passo 7
Agora, vamos considerar a descontinuidade do campo elétrico ao atravessar a superfície carregada. Do lado de dentro da esfera condutora, o campo elétrico é zero porque as cargas se redistribuem para anular qualquer campo interno. Do lado de fora, temos
. A diferença entre eles é:
Essa diferença confirma a descontinuidade mencionada na questão.
Resposta
O campo elétrico na superfície da esfera condutora é
, derivado usando a Lei de Gauss que considera a simetria esférica e a distribuição uniforme de carga na superfície.
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