A equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0 representa:
Alternativas
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativas
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
. A questão está pedindo para identificar qual tipo de conic section essa equação representa e qual das alternativas está correta. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, como completar o quadrado e identificar a forma padrão das equações das conicas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
juntos. Assim, fica:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes das potências de
e
:
Isso facilita para a gente completar o quadrado em seguida.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Temos
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2, ficando -1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1. Então:
Como adicionamos 1 dentro do parêntese, devemos ajustar o lado direito da equação. O 1 está multiplicado por 4, então adicionamos 4 ao lado direito:
Passo 5
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Temos
. Seguindo o mesmo processo, pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2, ficando 1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1. Então:
Como adicionamos 1 dentro do parêntese e ele está multiplicado por -9, devemos subtrair 9 do lado direito da equação:
Passo 6
Agora, vamos dividir todos os termos por 36 para deixar a equação na forma padrão das conicas:
Simplificando:
Passo 7
Essa é a forma padrão de uma hipérbole, que é representada por:
Comparando com a nossa equação, vemos que se encaixa perfeitamente como uma hipérbole.
Resposta
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação