A equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0 representa:
Alternativas
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação: 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0²². A questão está pedindo para identificar qual tipo de conic section essa equação representa e qual das alternativas está correta. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, como completar o quadrado e identificar a forma padrão das equações das conicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e de y juntos. Assim, fica:
4x² - 8x - 9y² - 18y = 41²²

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes das potências de x e y:
4(x² - 2x) - 9(y² + 2y) = 41²²
Isso facilita para a gente completar o quadrado em seguida.

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de x. Temos x² - 2x². Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x, que é -2, dividimos por 2, ficando -1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1. Então:
x² - 2x + 1 = (x - 1)²²²
Como adicionamos 1 dentro do parêntese, devemos ajustar o lado direito da equação. O 1 está multiplicado por 4, então adicionamos 4 ao lado direito:
4(x - 1)² - 9(y² + 2y) = 41 + 4²²
4(x - 1)² - 9(y² + 2y) = 45²²

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de y. Temos y² + 2y². Seguindo o mesmo processo, pegamos o coeficiente de y, que é 2, dividimos por 2, ficando 1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1. Então:
y² + 2y + 1 = (y + 1)²²²
Como adicionamos 1 dentro do parêntese e ele está multiplicado por -9, devemos subtrair 9 do lado direito da equação:
4(x - 1)² - 9(y + 1)² = 45 - 9²²
4(x - 1)² - 9(y + 1)² = 36²²

Passo 6

Agora, vamos dividir todos os termos por 36 para deixar a equação na forma padrão das conicas:
4(x - 1)²36 - 9(y + 1)²36 = 3636²²
Simplificando:
(x - 1)²9 - (y + 1)²4 = 1²²

Passo 7

Essa é a forma padrão de uma hipérbole, que é representada por:
(x - h)²a² - (y - k)²b² = 1²²²²
Comparando com a nossa equação, vemos que se encaixa perfeitamente como uma hipérbole.

Resposta

Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²9 - (y + 1)²4 = 1²²

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