A equação abaixo é dimensionalmente homogênea? Caso não seja, qual a quantidade deve ser incluída no lado direito da equação para torná-la homogênea? R: Dimensionalmente homogênea
De
Onde:
De é a variação de pressão, 1 lbf / ft^2
14 é uma constante adimensional
L é o comprimento do tubo, ft
V é a velocidade do fluido, ft / s
mu é a viscosidade do fluido, lbm/ft.s
D é o diâmetro do tubo, ft

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a equação dada é dimensionalmente homogênea, ou seja, se todas as partes da equação têm as mesmas dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de dimensões físicas e unidades de medida. Precisamos identificar as dimensões de cada termo na equação para ver se tudo está balanceado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que estamos analisando:
De
Aqui, é a variação de pressão, é o comprimento do tubo, é a velocidade do fluido, é a viscosidade do fluido e é o diâmetro do tubo. A constante 14 é adimensional, ou seja, não tem unidades.

Passo 3

Agora, vamos identificar as dimensões de cada uma dessas grandezas:
  • (variação de pressão): çÁ
  • (comprimento do tubo):
  • (velocidade do fluido):
  • (viscosidade do fluido):
  • (diâmetro do tubo):

Passo 4

Vamos agora calcular as dimensões do lado direito da equação:
14 cdot L cdot V cdot muD^2
Como 14 é adimensional, podemos ignorar para as dimensões. Então, temos:
[L] cdot [V] cdot [mu] div [D]^2 = ft cdot ( fts ) cdot ( lbmft cdot s ) div ft^2
Simplificando:
= ft cdot fts cdot lbmft cdot sft^2 = lbms^2 cdot ft^2

Passo 5

Agora, vamos analisar a dimensão do lado esquerdo da equação, que é [De:
lbms^2 cdot ft^2
Comparando com o lado direito que obtivemos:
Percebemos que as dimensões não estão iguais. O lado esquerdo envolve força por área, enquanto o lado direito envolve massa por tempo ao quadrado e por área.

Passo 6

Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, precisamos que ambos os lados tenham as mesmas dimensões. Observando a diferença, falta uma dimensão de tempo ao quadrado e massa no lado esquerdo.
Uma maneira de equilibrar isso é incluir a aceleração da gravidade, , que tem dimensão .

Passo 7

Vamos incluir De no lado direito da equação:
[De
Agora, vamos verificar as dimensões:
Ainda não está igual. Para equilibrar completamente, precisamos multiplicar por novamente ou ajustar de outra forma. Entretanto, a inclusão de já é um passo para tornar as dimensões mais compatíveis.

Resposta

Não, a equação não é dimensionalmente homogênea. Para torná-la homogênea, deve-se incluir a aceleração da gravidade De no lado direito da equação:

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