A equação abaixo é dimensionalmente homogênea? Caso não seja, qual a quantidade deve ser incluída no lado direito da equação para torná-la homogênea? R: Dimensionalmente homogênea
Onde:
é a variação de pressão,
14 é uma constante adimensional
L é o comprimento do tubo, ft
V é a velocidade do fluido,
é a viscosidade do fluido, lbm/ft.s
D é o diâmetro do tubo, ft
14 é uma constante adimensional
L é o comprimento do tubo, ft
V é a velocidade do fluido,
D é o diâmetro do tubo, ft
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a equação dada é dimensionalmente homogênea, ou seja, se todas as partes da equação têm as mesmas dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de dimensões físicas e unidades de medida. Precisamos identificar as dimensões de cada termo na equação para ver se tudo está balanceado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que estamos analisando:
Aqui,
é a variação de pressão,
é o comprimento do tubo,
é a velocidade do fluido,
é a viscosidade do fluido e
é o diâmetro do tubo. A constante 14 é adimensional, ou seja, não tem unidades.
Passo 3
Agora, vamos identificar as dimensões de cada uma dessas grandezas:
-
(variação de pressão): -
(comprimento do tubo): -
(velocidade do fluido): -
(viscosidade do fluido): -
(diâmetro do tubo):
Passo 4
Vamos agora calcular as dimensões do lado direito da equação:
Como 14 é adimensional, podemos ignorar para as dimensões. Então, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos analisar a dimensão do lado esquerdo da equação, que é
:
Comparando com o lado direito que obtivemos:
Percebemos que as dimensões não estão iguais. O lado esquerdo envolve força por área, enquanto o lado direito envolve massa por tempo ao quadrado e por área.
Passo 6
Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, precisamos que ambos os lados tenham as mesmas dimensões. Observando a diferença, falta uma dimensão de tempo ao quadrado e massa no lado esquerdo.
Uma maneira de equilibrar isso é incluir a aceleração da gravidade,
, que tem dimensão
.
Passo 7
Vamos incluir
no lado direito da equação:
Agora, vamos verificar as dimensões:
Ainda não está igual. Para equilibrar completamente, precisamos multiplicar por
novamente ou ajustar de outra forma. Entretanto, a inclusão de
já é um passo para tornar as dimensões mais compatíveis.
Resposta
Não, a equação não é dimensionalmente homogênea. Para torná-la homogênea, deve-se incluir a aceleração da gravidade
no lado direito da equação: