A equação básica para o campo de pressão, em que não há uma tensão de cisalhamento atuando sobre um elemento de fluido, é dada por -nabla p-gamma k=rho a. (a)Encontre uma expressão, em coordenadas retangulares, com o eixo z vertical, positivo para cima, para a dada expressão.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a pressão se comporta em um fluido onde não tem tensão de cisalhamento agindo. Essa equação é dada por:
-nabla p - gamma k = rho a
Aqui, nabla p é o gradiente de pressão, gamma é a aceleração da gravidade, k é o vetor unitário na direção vertical (z), rho é a densidade do fluido e a é a aceleração do fluido. Nosso objetivo é reescrever essa equação em coordenadas retangulares (x, y, z), considerando que o eixo z está na vertical e positivo para cima. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada termo nessa base de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o gradiente de pressão nabla p em coordenadas retangulares. O gradiente em coordenadas retangulares é dado por:
nabla p = partial ppartial x i + partial ppartial y j + partial ppartial z k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos substituir nabla p na equação original:
- ( partial ppartial x i + partial ppartial y j + partial ppartial z k ) - gamma k = rho a
Simplificando os sinais:
- partial ppartial x i - partial ppartial y j - ( partial ppartial z + gamma ) k = rho a

Passo 4

Agora, vamos igualar os componentes correspondentes dos vetores dos dois lados da equação. Isso significa que cada componente na direção x, y e z deve ser igual do lado esquerdo e direito da equação.
Então, temos:
  1. Na direção x:
- partial ppartial x = rho ax
  1. Na direção y:
- partial ppartial y = rho ay
  1. Na direção z:
- ( partial ppartial z + gamma ) = rho az

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar expressões para as derivadas parciais da pressão.
  1. Direção x:
partial ppartial x = -rho ax
  1. Direção y:
partial ppartial y = -rho ay
  1. Direção z:
partial ppartial z = -rho az - gamma

Passo 6

Agora, para encontrar a expressão da pressão p(x, y, z), precisamos integrar cada uma dessas equações em relação à sua respectiva variável.
  1. Integrando em x:
p(x, y, z) = -rho integral ax , dx + C(y, z)
  1. Integrando em y:
p(x, y, z) = -rho integral ay , dy + D(x, z)
  1. Integrando em z:
p(x, y, z) = -rho integral az , dz - gamma z + E(x, y)
Aqui, C(y, z), D(x, z) e E(x, y) são funções de integração que podem depender das outras variáveis.

Passo 7

Assumindo que as acelerações ax, ay e az são constantes ou conhecidas, podemos realizar as integrações para obter uma expressão completa para a pressão. Se considerarmos um fluido em equilíbrio estático, as acelerações seriam zero, simplificando as integrações.
No caso geral, a expressão para a pressão em coordenadas retangulares com eixo z positivo para cima é:
p(x, y, z) = -rho ax x - rho ay y - rho az z - gamma z + constante

Resposta

A expressão para a pressão em coordenadas retangulares, com o eixo z vertical e positivo para cima, é:
p(x, y, z) = -rho ax x - rho ay y - (rho az + gamma) z + C
onde C é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Descreva brevemente o que se pede. © Qual a diferença entre pressão manométrica e pressão absoluta.
Qual a energia de pressão específica (no SI) de um fluido de densidade 800 kg / m^3 armazenado à pressão absoluta de 400 kPa .
A leitura de um medidor de vácuo conectado a uma câmara é de 36 kPa em um local onde a pressão atmosférica é de 92 kPa , Determine a pressão absoluta da câmara. (R: 56 kPa )
Considere o escoamento de ar sobre as asas de um avião. Este escoamento é interno ou externo? E o escoamento de gases através de um motor a jato?