A equação básica para o campo de pressão, em que não há uma tensão de cisalhamento atuando sobre um elemento de fluido, é dada por
. (a)Encontre uma expressão, em coordenadas retangulares, com o eixo z vertical, positivo para cima, para a dada expressão.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a pressão se comporta em um fluido onde não tem tensão de cisalhamento agindo. Essa equação é dada por:
Aqui,
é o gradiente de pressão,
é a aceleração da gravidade,
é o vetor unitário na direção vertical (z),
é a densidade do fluido e
é a aceleração do fluido. Nosso objetivo é reescrever essa equação em coordenadas retangulares (x, y, z), considerando que o eixo z está na vertical e positivo para cima. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada termo nessa base de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o gradiente de pressão
em coordenadas retangulares. O gradiente em coordenadas retangulares é dado por:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação original:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Agora, vamos igualar os componentes correspondentes dos vetores dos dois lados da equação. Isso significa que cada componente na direção x, y e z deve ser igual do lado esquerdo e direito da equação.
Então, temos:
- Na direção x:
- Na direção y:
- Na direção z:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar expressões para as derivadas parciais da pressão.
- Direção x:
- Direção y:
- Direção z:
Passo 6
Agora, para encontrar a expressão da pressão
, precisamos integrar cada uma dessas equações em relação à sua respectiva variável.
- Integrando em x:
- Integrando em y:
- Integrando em z:
Aqui,
,
e
são funções de integração que podem depender das outras variáveis.
Passo 7
Assumindo que as acelerações
,
e
são constantes ou conhecidas, podemos realizar as integrações para obter uma expressão completa para a pressão. Se considerarmos um fluido em equilíbrio estático, as acelerações seriam zero, simplificando as integrações.
No caso geral, a expressão para a pressão em coordenadas retangulares com eixo z positivo para cima é:
Resposta
A expressão para a pressão em coordenadas retangulares, com o eixo z vertical e positivo para cima, é:
onde
é uma constante de integração.
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