Uma equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é homogênea quando M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas. Em geral, para resolver uma equação diferencial homogênea, é necessário utilizar substituições algébricas, como, por exemplo, y=tx e com isso teremos que dy=tdx+xdt. Com manipulações algébricas como a citada em EDOs homogêneas, é possível transformá-la de forma que seja possível aplicar o método da separação de variáveis. De acordo com o texto-base e os conteúdos das aulas, resolva a EDO x² + y² - 2xy (dy/dx) = 0 e assinale a alternativa que apresenta a solução para essa equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:
O objetivo aqui é resolver essa equação usando o método de substituição homogênea. Isso envolve reconhecer que a equação é homogênea e então fazer uma substituição que facilite a resolução, geralmente transformando a equação para poder separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a equação é homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicar $ x $ e $ y $ por uma constante $ t $, a função se multiplica por $ t^n $.
No nosso caso:
- $ M(x, y) = x² + y² $ é homogênea de grau 2, porque $ (tx)² + (ty)² = t²x² + t²y² = t²(x² + y²) $.
- $ N(x, y) = -2xy $ também é homogênea de grau 2, já que $ -2(tx)(ty) = -2t²xy = t²(-2xy) $.
Como $ M $ e $ N $ são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos fazer uma substituição para simplificar. A substituição comum é $ y = tx $, onde $ t $ é uma função de $ x $. Com isso:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma que seja mais fácil de resolver.
Passo 4
Vamos substituir $ y = tx $ e $ \frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx} $ na equação original:
Simplificando cada termo:
- $ (tx)^2 = t²x² $
- $ -2x(tx)(t + x \frac{dt}{dx}) = -2x²t(t + x \frac{dt}{dx}) $
Substituindo de volta:
Passo 5
Fatorando $ x² $ na equação:
Dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 6
Rearranjando para isolar o termo com $ \frac{dt}{dx} $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Agora, vamos separar as variáveis $ t $ e $ x $:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por substituição. Seja $ u = 1 - t² $, então $ du = -2t dt $, o que implica $ -du = 2t dt $. Assim:
A integral do lado direito é:
Passo 8
Igualando as integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Onde $ C’ $ é uma constante arbitrária. Aplicando propriedades dos logaritmos:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma nova constante.
Passo 9
Removendo os logaritmos:
Lembrando que $ t = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por $ x $:
Multiplicando novamente por $ x $ para eliminar o denominador:
Passo 10
Finalmente, rearranjando a equação para expressar $ y² $:
Podemos reescrever a constante $ K $ como $ -C $ para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: