Uma equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é homogênea quando M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas. Em geral, para resolver uma equação diferencial homogênea, é necessário utilizar substituições algébricas, como, por exemplo, y=tx e com isso teremos que dy=tdx+xdt. Com manipulações algébricas como a citada em EDOs homogêneas, é possível transformá-la de forma que seja possível aplicar o método da separação de variáveis. De acordo com o texto-base e os conteúdos das aulas, resolva a EDO x² + y² - 2xy (dy/dx) = 0 e assinale a alternativa que apresenta a solução para essa equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:
x² + y² - 2xy dydx = 0 ²²
O objetivo aqui é resolver essa equação usando o método de substituição homogênea. Isso envolve reconhecer que a equação é homogênea e então fazer uma substituição que facilite a resolução, geralmente transformando a equação para poder separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a equação é homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicar $ x $ e $ y $ por uma constante $ t $, a função se multiplica por $ t^n $.
No nosso caso:
  • $ M(x, y) = x² + y² $ é homogênea de grau 2, porque $ (tx)² + (ty)² = t²x² + t²y² = t²(x² + y²) $.
  • $ N(x, y) = -2xy $ também é homogênea de grau 2, já que $ -2(tx)(ty) = -2t²xy = t²(-2xy) $.
Como $ M $ e $ N $ são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos fazer uma substituição para simplificar. A substituição comum é $ y = tx $, onde $ t $ é uma função de $ x $. Com isso:
y = tx
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma que seja mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos substituir $ y = tx $ e $ \frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx} $ na equação original:
y = tx ²
Simplificando cada termo:
  • $ (tx)^2 = t²x² $
  • $ -2x(tx)(t + x \frac{dt}{dx}) = -2x²t(t + x \frac{dt}{dx}) $
Substituindo de volta:
dydx = t + x dtdx ²²²²

Passo 5

Fatorando $ x² $ na equação:
²²
Dentro dos parênteses:
x² (1 + t² - 2t(t + x dtdx)) = 0 ²²
Simplificando:
1 + t² - 2t² - 2tx dtdx = 0 ²

Passo 6

Rearranjando para isolar o termo com $ \frac{dt}{dx} $:
dtdx ²
Multiplicando ambos os lados por -1:
-2tx dtdx = -(1 - t²) ²
Agora, vamos separar as variáveis $ t $ e $ x $:
2tx dtdx = 1 - t² ²

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 2t1 - t² dt = integral 1x dx ²
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por substituição. Seja $ u = 1 - t² $, então $ du = -2t dt $, o que implica $ -du = 2t dt $. Assim:
u = 1 - t² ²²
A integral do lado direito é:
du = -2t dt

Passo 8

Igualando as integrais:
-ln|1 - t²| = ln|x| + C ²
Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
ln|1 - t²| = -ln|x| + C' ²
Onde $ C’ $ é uma constante arbitrária. Aplicando propriedades dos logaritmos:
C' ²
Onde $ K = e^{C’} $ é uma nova constante.

Passo 9

Removendo os logaritmos:
1 - t² = Kx ²
Lembrando que $ t = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
t = yx
Multiplicando tudo por $ x $:
1 - (yx)^2 = Kx ²
Multiplicando novamente por $ x $ para eliminar o denominador:
x ²²

Passo 10

Finalmente, rearranjando a equação para expressar $ y² $:
²²
Podemos reescrever a constante $ K $ como $ -C $ para simplificar:
y² = x² - Kx ²²

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y² = x² + Cx ²²

Exercícios relacionados