A equação geral da reta r: ax + by + c = 0, com a > 0, que passa pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5) é dado por r:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que achar a equação geral da reta $ r: ax + by + c = 0 $ que passa pelos pontos $ A(-1, 2) $ e $ B(-2, 5) $. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de uma reta quando conhecemos dois pontos por onde ela passa. Vamos precisar usar a fórmula da equação geral da reta e as coordenadas dos pontos para descobrir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que a equação geral da reta é $ ax + by + c = 0 $. Como a reta passa pelos pontos $ A(-1, 2) $ e $ B(-2, 5) $, podemos substituir as coordenadas desses pontos na equação para formar um sistema de equações.
Para o ponto $ A(-1, 2) $:
Para o ponto $ B(-2, 5) $:
Agora temos duas equações com três incógnitas $ a $, $ b $ e $ c $. Precisamos de mais uma condição para resolver, mas como a equação está em sua forma geral, podemos expressar uma das variáveis em função das outras.
Passo 3
Vamos expressar $ c $ em função de $ a $ e $ b $ usando a Equação 1:
Agora substituímos $ c = a - 2b $ na Equação 2:
Simplificando:
Passo 4
Da equação $ -a + 3b = 0 $, podemos resolver para $ a $ em termos de $ b $:
Agora que sabemos que $ a = 3b $, podemos escolher um valor para $ b $ para simplificar. Como estamos buscando a equação geral, podemos escolher $ b = 1 $ (desde que $ b \neq 0 $) para facilitar os cálculos.
Então:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, substituímos na equação geral da reta:
Ou simplificando:
Resposta
A equação geral da reta $ r $ que passa pelos pontos $ A(-1, 2) $ e $ B(-2, 5) $ é: