Esboce o gráfico da função e determine seu domínio.

Passo 1

Certo! A gente tem que esboçar o gráfico da função e descobrir qual é o domínio dela. Vamos usar conceitos de funções racionais e análise de gráficos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da nossa função: . Para que a função esteja definida, não pode ser igual a zero. Então igualamos a expressão a zero e resolvemos:
Isso significa que é o valor que devemos excluir do domínio.

Passo 4

Agora, vamos descrever o domínio. Como faz o denominador ser zero, o domínio é todos os números reais menos 2. Em notação matemática:
í

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos identificar características importantes da função . Essa é uma função hiperbola que tem uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Vamos plotar alguns pontos para ajudar no desenho:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda, vai para
  • Quando se aproxima de 2 pela direita, vai para

Passo 7

Com essas informações, podemos desenhar duas partes da hiperbola:
  • Uma parte na região à esquerda de , descendo para baixo conforme se aproxima de 2
  • Outra parte na região à direita de , subindo para cima conforme se afasta de 2

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menos 2, ou seja, . O gráfico é uma hiperbola com assíntotas em e , composta por duas ramos: um na esquerda de e outro na direita, cada um se aproximando das assíntotas conforme varia.

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