Esboce o gráfico da função
e determine seu domínio.
Passo 1
Certo! A gente tem que esboçar o gráfico da função
e descobrir qual é o domínio dela. Vamos usar conceitos de funções racionais e análise de gráficos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da nossa função:
. Para que a função esteja definida,
não pode ser igual a zero. Então igualamos a expressão a zero e resolvemos:
Isso significa que
é o valor que devemos excluir do domínio.
Passo 4
Agora, vamos descrever o domínio. Como
faz o denominador ser zero, o domínio é todos os números reais menos 2. Em notação matemática:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos identificar características importantes da função
. Essa é uma função hiperbola que tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Vamos plotar alguns pontos para ajudar no desenho:
- Quando
: - Quando
: - Quando
se aproxima de 2 pela esquerda, vai para - Quando
se aproxima de 2 pela direita, vai para
Passo 7
Com essas informações, podemos desenhar duas partes da hiperbola:
- Uma parte na região à esquerda de
, descendo para baixo conforme se aproxima de 2 - Outra parte na região à direita de
, subindo para cima conforme se afasta de 2
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais menos 2, ou seja,
. O gráfico é uma hiperbola com assíntotas em
e
, composta por duas ramos: um na esquerda de
e outro na direita, cada um se aproximando das assíntotas conforme
varia.
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