Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f'(x) > 0 e f'(x) > 0 para todo x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que sempre tem a derivada maior que zero e também a segunda derivada maior que zero para todo valor de . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a primeira derivada para todo . A primeira derivada de uma função nos diz se a função está aumentando ou diminuindo. Se , significa que a função está sempre crescendo.

Passo 3

Agora, a segunda condição é que a segunda derivada para todo . A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função. Se , a função é côncava para cima em todo lugar, ou seja, o gráfico tem uma forma de “S” suavizado para cima, como uma tigela.

Passo 4

Combinando essas duas informações:
  • Sempre crescente ( ): o gráfico nunca desce, está sempre subindo.
  • Sempre côncavo para cima ( ): a curva está sempre “abrindo para cima”.
Um exemplo clássico de função que satisfaz essas condições é a função exponencial . Vamos ver:
  • A primeira derivada de é , que é sempre maior que zero.
  • A segunda derivada de também é , também sempre maior que zero.

Passo 5

Então, ao esboçar o gráfico de uma função que sempre aumenta e é côncava para cima, podemos desenhar algo parecido com a curva da função exponencial . O gráfico começa devagar, mas conforme aumenta, ele sobe cada vez mais rápido, sempre mantendo a concavidade para cima.

Resposta

O gráfico é uma curva que está sempre subindo e é côncava para cima em todo o domínio. Um exemplo disso é a função , cujo gráfico representa uma curva crescente e com concavidade voltada para cima para todos os valores de .

Exercícios relacionados

É mo segui
d/d
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f'(x) < 0 e f'(x) > 0 para todo x
f^prime(0)=f f^prime(x)>c f^prime(x)< lim x 2^- f^prime(
f^prime prime(x)>
(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Suponl