Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
e
para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que sempre tem a derivada maior que zero e também a segunda derivada maior que zero para todo valor de
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a primeira derivada
para todo
. A primeira derivada de uma função nos diz se a função está aumentando ou diminuindo. Se
, significa que a função está sempre crescendo.
Passo 3
Agora, a segunda condição é que a segunda derivada
para todo
. A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função. Se
, a função é côncava para cima em todo lugar, ou seja, o gráfico tem uma forma de “S” suavizado para cima, como uma tigela.
Passo 4
Combinando essas duas informações:
- Sempre crescente (
): o gráfico nunca desce, está sempre subindo. - Sempre côncavo para cima (
): a curva está sempre “abrindo para cima”.
Um exemplo clássico de função que satisfaz essas condições é a função exponencial
. Vamos ver:
- A primeira derivada de
é , que é sempre maior que zero. - A segunda derivada de
também é , também sempre maior que zero.
Passo 5
Então, ao esboçar o gráfico de uma função que sempre aumenta e é côncava para cima, podemos desenhar algo parecido com a curva da função exponencial
. O gráfico começa devagar, mas conforme
aumenta, ele sobe cada vez mais rápido, sempre mantendo a concavidade para cima.
Resposta
O gráfico é uma curva que está sempre subindo e é côncava para cima em todo o domínio. Um exemplo disso é a função
, cujo gráfico representa uma curva crescente e com concavidade voltada para cima para todos os valores de
.
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É mo segui
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
e
para todo
(a) Encontre os intervalos nos quais
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Suponl