Esboce os gráficos das funções.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos desenhar os gráficos das funções listadas de (a) a (e). Para isso, vamos analisar cada função individualmente utilizando conceitos como domínio, assíntotas e interceptos.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função está definida para todos os valores de
onde o denominador não é zero.
Então, o domínio é todos os reais menos 1.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas. A função tem uma assíntota vertical em
porque o denominador tende a zero e o valor de
vai para infinito quando
se aproxima de 1.
Além disso, a função possui uma assíntota horizontal à medida que
vai para mais ou menos infinito:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos. Para o intercepto com o eixo
, calculamos
:
Então, o intercepto com o eixo
é (0, -1).
Para o intercepto com o eixo
, resolvemos:
Não existe valor de
que satisfaça essa equação, então não há intercepto com o eixo
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
. O gráfico terá duas ramas separadas pela assíntota vertical
e se aproximará da assíntota horizontal
.
Passo 6
Parte (b):
Vamos analisar o domínio. O denominador
nunca é zero, exceto quando
. Então, o domínio é todos os reais menos 0.
Assíntotas: Não há assíntota vertical porque não existe valor de
que torne o denominador zero dentro do domínio. A assíntota horizontal é
já que:
Interceptos: Para o eixo
, calculamos
, mas
não está no domínio, então não há intercepto com o eixo
. Para o eixo
, igualamos a função a zero e não há solução, então também não há intercepto com o eixo
.
Passo 7
O gráfico de
é uma parábola invertida, simétrica em relação ao eixo
, aproximando-se da assíntota horizontal
e nunca tocando os eixos.
Passo 8
Parte ©:
Domínio:
.
Assíntotas: Assíntota vertical em
e assíntota horizontal em
.
Interceptos: Para o eixo
:
Então, intercepto em (0, 2). Não há intercepto com o eixo
.
Passo 9
O gráfico de
é semelhante ao da parte (b), mas deslocado para a esquerda em 1 unidade e multiplicado por 2, tendo intercepto no ponto (0, 2).
Passo 10
Parte (d):
Domínio:
porque a raiz quadrada de um número negativo não é real e o denominador não pode ser zero.
Assíntotas: Há uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
:
Interceptos: Para o eixo
,
não está definido, então não há intercepto com o eixo
. Para o eixo
, a função nunca cruza o eixo
.
Passo 11
O gráfico de
existe apenas para
, começa no infinito quando
se aproxima de 0 e se aproxima de
conforme
aumenta.
Passo 12
Parte (e):
Domínio:
.
Assíntotas: Assíntota vertical em
e assíntota horizontal em
.
Interceptos: Para o eixo
,
não está no domínio, então não há intercepto com o eixo
. Para o eixo
, a função nunca cruza o eixo
.
Passo 13
O gráfico de
é semelhante ao da parte (d), mas deslocado para a direita em 1 unidade, começando no infinito quando
se aproxima de 1 e se aproximando de
conforme
aumenta.
Resposta
Os gráficos das funções são:
(a)
: Assíntotas em
e
, intercepto no eixo
em (0, -1), sem intercepto no eixo
.
(b)
: Parábola invertida com assíntota horizontal em
, sem interceptos nos eixos.
©
: Semelhante à parte (b), deslocada para a esquerda em 1 unidade e com intercepto no ponto (0, 2).
(d)
: Gráfico definido para
, com assíntotas em
e
, sem interceptos nos eixos.
(e)
: Semelhante à parte (d), deslocada para a direita em 1 unidade, definida para
, com assíntotas em
e
, sem interceptos nos eixos.
Exercícios relacionados
Calcule os valores de
e
.
Quanto vale:
Esboce os gráficos dos exercícios 10. a 17.