Esboce o sólido cujo volume e dado pela integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla
. Isso envolve cálculo de volumes usando integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos entender os limites de integração e a função que define a altura do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral externa
indica que
varia de 0 a 1. Para cada valor de
, a integral interna
mostra que
varia de 0 a 3. Então, a região base no plano
é um retângulo com
entre 0 e 3 e
entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dentro da integral:
. Essa função representa a altura
do sólido para cada ponto
na base. Ou seja, para cada par
, o ponto acima deles no sólido tem a coordenada
.
Passo 4
Vamos entender como essa função se comporta. Quando
e
,
. Conforme
aumenta,
diminui linearmente com
, e da mesma forma, conforme
aumenta,
também diminui, mas a uma taxa maior por causa do coeficiente 2. Isso indica que o topo do sólido é um plano inclinado.
Passo 5
Para esboçar o sólido, imagine o retângulo base no plano
com vértices em
,
,
e
. Agora, desenhe o plano
que toca o ponto mais alto em
e desce até
. Porém, como geralmente consideramos apenas volumes positivos, podemos interpretar que o sólido se estende até o plano
.
Resposta
O sólido é um prisma inclinado limitado pelo retângulo no plano
onde
varia de 0 a 3 e
de 0 a 1, e pelo plano inclinado
. Esse plano define a altura do sólido em cada ponto da base, formando um volume que se estende do retângulo base até o plano superior.