Em uma escala linear de temperatura X , a água congela a -I 2 5 , 0 ^ circ X e evapora a 375,0^circ X. Em uma escala linear de temperatura Y , a água congela a -70,00^circ Y e evapora a 30,00^circ Y. Uma temperatura de 50,00^circ Y corresponde a que temperatura na escala X?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas escalas de temperatura, a X e a Y. Na escala X, a água congela a -25,0 °C X e evapora a 375,0 °C X. Na escala Y, a água congela a -70,00 °C Y e evapora a 30,00 °C Y. A missão é descobrir qual a temperatura na escala X que corresponde a 50,00 °C Y. Para isso, vamos usar conceitos de proporcionalidade e transformação linear entre escalas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que as escalas X e Y são lineares. Isso significa que existe uma relação direta entre elas, que pode ser expressa por uma equação do tipo:
Y = a cdot X + b
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes que precisamos descobrir para fazer a conversão entre as escalas.

Passo 3

Vamos usar os pontos de congelamento e evaporação para encontrar $ a $ e $ b $. Na escala X:
  • Congelamento: $ X_1 = -25,0 a \mathrm{X}$ corresponde a $ Y_1 = -70,00 b \mathrm{Y}$
  • Evaporação: $ X_2 = 375,0 X1 = -25,0 \mathrm{X}$ corresponde a $ Y_2 = 30,00 X\mathrm{Y}$
Vamos montar duas equações com esses pontos:
Y1 = -70,00

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ a $ e $ b $.
Primeira equação:
a
b   (1)
Segunda equação:
-70 = -25a + b
Substituindo $ b $ da equação (1) na segunda equação:
b = -70 + 25a
30 = 375a + b
b
30 = 375a + (-70 + 25a)
30 = 375a - 70 + 25a
30 = 400a - 70
Agora, substituindo $ a = 0,25 $ na equação (1):
100 = 400a
a = 100400
a = 0,25

Passo 5

Com os valores de $ a $ e $ b $ encontrados, a relação entre as escalas é:
a
Agora, queremos encontrar $ X $ quando $ Y = 50,00 b _\mathrm{Y}$.
Vamos substituir na equação:
Y = 0,25 cdot X - 63,75

Passo 6

Resolvendo para $ X $:
X
50 + 63,75 = 0,25 cdot X
113,75 = 0,25 cdot X
X = 113,750,25

Resposta

Uma temperatura de 50,00 °C Y corresponde a 455 °C X na escala X.

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