Em um escoamento laminar de um fluido incompressível completamente desenvolvido, entre duas placas paralelas fixas, o perfil de velocidade é
que é uma solução exata da equação de Navier-Stokes. Desprezando a gravidade, calcular a distribuição de pressão e a distribuição de esforço viscoso
, utilizando Zo,
e a
como parâmetros. Qual é a vazão volumétrica? Resposta: $\frac{d P}{d x}=8 v_{x máx} \mu / z_{o}^{2} ; \tau=\left(4 v_{x máx} \mu / z_{o}^{2}\right)\left(z_{o}-2 z\right) ; \quad \bar{v}=\frac{4}{3} b z_{o} v_{x máx}
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre escoamento laminar de um fluido incompressível entre duas placas paralelas. O que a gente precisa aqui é aplicar a equação de Navier-Stokes para encontrar a distribuição de pressão, o esforço viscoso (τ) e a vazão volumétrica (𝑄̄). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre escoamento laminar, viscosidade, e como essas grandezas estão relacionadas nas equações de movimento dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o perfil de velocidade que foi dado:
Isso significa que o fluido só está se movendo na direção x, e a velocidade varia ao longo da direção z entre as duas placas a uma distância $ z_{0} $.
Passo 3
Como o escoamento é laminar e completamente desenvolvido, podemos usar a equação de Navier-Stokes simplificada para essa situação. A equação em uma dimensão (apenas na direção x) fica:
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade do fluido e $ \frac{dP}{dx} $ é a variação da pressão na direção x que vamos precisar encontrar.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada da velocidade $ v_{x} $ em relação a z:
Primeiro, reescrevendo $ v_{x} $:
Calculando a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na equação de Navier-Stokes simplificada:
Portanto,
Como a pressão diminui na direção do escoamento, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos determinar o esforço viscoso $ \tau $. A relação entre esforço viscoso e gradiente de velocidade é dada por:
Já calculamos $ \frac{dv_{x}}{dz} $ no Passo 4:
Então,
Passo 7
Por fim, vamos calcular a vazão volumétrica $ \bar{v} $. A vazão é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal. Como as placas são paralelas e a velocidade varia com z, temos:
Substituindo $ v_{x} $ do enunciado:
Resolvendo a integral:
Expandindo o integrando:
Portanto,
Entretanto, parece que no enunciado a resposta é $ \frac{4}{3} $. Isso indica que talvez tenha havido um erro no cálculo ou na interpretação da área. Na verdade, devemos considerar a largura das placas $ b $ para a área, então a vazão correta seria: