Um trecho da tubulação transportando água contém uma câmara de expansão com uma superfície livre cuja área é
. As seções de entrada e de saída têm, ambas,
de área. Num dado instante, a velocidade na seção 1 é
, para dentro da câmara. A água escoa para fora, pela seção 2, a
. Ambos os escoamentos são uniformes. Determine a taxa de variação do nível da superfície livre num dado instante. Indique se o nível sobe ou desce. Resp.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tubulação que transporta água e possui uma câmara de expansão com uma superfície livre de área
. As áreas das seções de entrada e saída são ambas
. A velocidade da água entrando na câmara pela seção 1 é
, e a água sai pela seção 2 com um fluxo de
. Queremos descobrir como está mudando o nível da água na superfície livre ao longo do tempo, ou seja, a taxa de variação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo volumétrico e conservação de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo de entrada de água na câmara. O fluxo volumétrico (quantidade de água que entra por segundo) é dado pela área da seção de entrada multiplicada pela velocidade da água nessa seção. Então:
Onde:
-
(área da seção 1) -
(velocidade na seção 1)
Calculando:
Passo 3
Sabemos que o fluxo de saída já foi dado diretamente na questão como
. Isso significa que a água está saindo da câmara mais rapidamente do que está entrando.
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação do nível da água na superfície livre (
), precisamos ver como o volume de água na câmara está mudando ao longo do tempo. A variação de volume é dada pela diferença entre o fluxo de entrada e o fluxo de saída:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 5
Agora, como a câmara de expansão tem uma área de superfície livre de
, podemos relacionar a variação de volume com a variação da altura da água. A taxa de variação da altura é dada por:
Onde:
-
(área da superfície livre) -
Substituindo:
Resposta
A taxa de variação do nível da superfície livre é
. Isso significa que o nível da água está descendo na câmara de expansão.