Um trecho da tubulação transportando água contém uma câmara de expansão com uma superfície livre cuja área é 2 m^2. As seções de entrada e de saída têm, ambas, 1 m^2 de área. Num dado instante, a velocidade na seção 1 é 3 m / s, para dentro da câmara. A água escoa para fora, pela seção 2, a 4 m^3 / s. Ambos os escoamentos são uniformes. Determine a taxa de variação do nível da superfície livre num dado instante. Indique se o nível sobe ou desce. Resp. d h / d t=-0,5 m / s

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tubulação que transporta água e possui uma câmara de expansão com uma superfície livre de área 2 m^2. As áreas das seções de entrada e saída são ambas 1 m^2. A velocidade da água entrando na câmara pela seção 1 é 3 m/s, e a água sai pela seção 2 com um fluxo de 4 m^3/s. Queremos descobrir como está mudando o nível da água na superfície livre ao longo do tempo, ou seja, a taxa de variação d h / dt. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo volumétrico e conservação de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo de entrada de água na câmara. O fluxo volumétrico (quantidade de água que entra por segundo) é dado pela área da seção de entrada multiplicada pela velocidade da água nessa seção. Então:
Qentrada = A1 times v1
Onde:
  • A1 = 1 m^2 (área da seção 1)
  • v1 = 3 m/s (velocidade na seção 1)
Calculando:
Qentrada = 1 m^2 times 3 m/s = 3 m^3/s

Passo 3

Sabemos que o fluxo de saída já foi dado diretamente na questão como 4 m^3/s. Isso significa que a água está saindo da câmara mais rapidamente do que está entrando.

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação do nível da água na superfície livre ( d h / dt), precisamos ver como o volume de água na câmara está mudando ao longo do tempo. A variação de volume é dada pela diferença entre o fluxo de entrada e o fluxo de saída:
dVdt = Qentrada - Qsaída í
Substituindo os valores:
dVdt = 3 m^3/s - 4 m^3/s = -1 m^3/s
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 5

Agora, como a câmara de expansão tem uma área de superfície livre de 2 m^2, podemos relacionar a variação de volume com a variação da altura da água. A taxa de variação da altura é dada por:
d hd t = 1A times dVdt
Onde:
  • A = 2 m^2 (área da superfície livre)
  • dVdt = -1 m^3/s
Substituindo:
d hd t = 12 m^2 times (-1 m^3/s) = -0,5 m/s

Resposta

A taxa de variação do nível da superfície livre é d hd t = -0,5 m/s. Isso significa que o nível da água está descendo na câmara de expansão.

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