Um escoamento em regime não permanente e unidimensional em uma fina camada de líquido é descrito pela equação
Use uma escala de comprimento,
, e uma escala de velocidade,
, para tornar esta equação adimensional. Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre um escoamento em regime não permanente e unidimensional numa fina camada de líquido. A equação que descreve esse escoamento é:
Aqui,
é a velocidade do fluido,
é o tempo,
é a coordenada espacial,
é a aceleração da gravidade e
é a altura da camada líquida. Nosso objetivo é tornar essa equação adimensional usando uma escala de comprimento
e uma escala de velocidade
, e identificar os grupos adimensionais que descrevem esse escoamento.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as variáveis adimensionais. Vamos definir:
- Coordenada adimensional:
- Tempo adimensional:
- Velocidade adimensional:
- Altura adimensional:
Aqui,
é uma escala de altura que podemos escolher com base no problema, mas para simplificação, vamos assumir que
, então
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas variáveis adimensionais na equação original. Primeiro, encontramos as derivadas:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por
:
Passo 5
Agora, identificamos o grupo adimensional que aparece na equação:
Rearranjando, temos:
Então, a equação adimensional fica:
Resposta
Os grupos adimensionais que caracterizam o escoamento são o Número de Froude, definido por: