Um escoamento em regime não permanente e unidimensional em uma fina camada de líquido é descrito pela equação
partial upartial t+u partial upartial x=-g partial hpartial x
Use uma escala de comprimento, L, e uma escala de velocidade, V0, para tornar esta equação adimensional. Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre um escoamento em regime não permanente e unidimensional numa fina camada de líquido. A equação que descreve esse escoamento é:
partial upartial t + u partial upartial x = -g partial hpartial x
Aqui, é a velocidade do fluido, é o tempo, é a coordenada espacial, é a aceleração da gravidade e é a altura da camada líquida. Nosso objetivo é tornar essa equação adimensional usando uma escala de comprimento e uma escala de velocidade , e identificar os grupos adimensionais que descrevem esse escoamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as variáveis adimensionais. Vamos definir:
  • Coordenada adimensional:
  • Tempo adimensional:
  • Velocidade adimensional:
  • Altura adimensional:
Aqui, é uma escala de altura que podemos escolher com base no problema, mas para simplificação, vamos assumir que , então .

Passo 3

Agora, vamos substituir essas variáveis adimensionais na equação original. Primeiro, encontramos as derivadas:

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
V0^2L partial tildeupartial tildet + V0^2L tildeu partial tildeupartial tildex = -g partial tildehpartial tildex
Podemos simplificar dividindo toda a equação por partial tildeupartial tildet + tildeu partial tildeupartial tildex = -g LV0^2 partial tildehpartial tildex :

Passo 5

Agora, identificamos o grupo adimensional que aparece na equação:
Número de Froude = V0^2g L ú
Rearranjando, temos:
g LV0^2 = 1Número de Froude ú
Então, a equação adimensional fica:
partial tildeupartial tildet + tildeu partial tildeupartial tildex = -1Número de Froude partial tildehpartial tildex ú

Resposta

Os grupos adimensionais que caracterizam o escoamento são o Número de Froude, definido por:
Número de Froude = V0^2g L ú

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