Um escoamento tridimensional incompressível é dado por V=(2 x+3 y+ 3) i+(2 x y z) j+(x y3) k. Encontre a vorticidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um escoamento tridimensional incompressível dado pela velocidade . Nosso objetivo é encontrar a vorticidade desse escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo vetorial e cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é vorticidade. A vorticidade é uma medida de quantas vezes e quão forte um fluido está girando em torno de um ponto. Matematicamente, ela é definida como o rotacional do campo de velocidade omega = nabla times V , ou seja:
Então, nosso passo é calcular esse rotacional para a velocidade dada.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z )i + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x )j + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y )k . Lembrando que, em coordenadas cartesianas, o rotacional de Vx = 2x + 3y + 3, Vy = 2xyz, Vz = xy3 é dado por:
Vamos identificar , e a partir do enunciado:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. (pois não depende de )

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
omega = ( x3 - 2xy )i + ( 0 - y3 )j + ( 2yz - 3 )k
Simplificando cada componente:
omega = ( x3 - 2xy )i - y3j + (2yz - 3)k

Resposta

A vorticidade do escoamento é:
omega = ( x3 - 2xy )i - y3j + (2yz - 3)k

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