Um escoamento tridimensional incompressível é dado por
3)
. Encontre a vorticidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um escoamento tridimensional incompressível dado pela velocidade
. Nosso objetivo é encontrar a vorticidade desse escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo vetorial e cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é vorticidade. A vorticidade é uma medida de quantas vezes e quão forte um fluido está girando em torno de um ponto. Matematicamente, ela é definida como o rotacional do campo de velocidade
, ou seja:
Então, nosso passo é calcular esse rotacional para a velocidade dada.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional
. Lembrando que, em coordenadas cartesianas, o rotacional de
é dado por:
Vamos identificar
,
e
a partir do enunciado:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
-
-
-
(pois não depende de ) -
-
-
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:
Resposta
A vorticidade do escoamento é:
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