Um escoamento tridimensional incompressível é dado por 3) . Encontre a vorticidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um escoamento tridimensional incompressível dado pela velocidade . Nosso objetivo é encontrar a vorticidade desse escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo vetorial e cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é vorticidade. A vorticidade é uma medida de quantas vezes e quão forte um fluido está girando em torno de um ponto. Matematicamente, ela é definida como o rotacional do campo de velocidade , ou seja:
Então, nosso passo é calcular esse rotacional para a velocidade dada.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional . Lembrando que, em coordenadas cartesianas, o rotacional de é dado por:
Vamos identificar , e a partir do enunciado:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. (pois não depende de )

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:

Resposta

A vorticidade do escoamento é:

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