Escreva as Equações da continuidade molar em coordenadas cartesianas, as condições de contorno e obtenha a distribuição da fração molar de , para a seguinte situação: Monóxido de carbono difunde-se através de uma pelfcula estagnada de ar seco de 550 mm de profundidade em um capilar que contém monóxido de carbono. A concentração de CO na boca do capilar é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para escrever as equações da continuidade molar em coordenadas cartesianas, definir as condições de contorno e encontrar como a fração molar de monóxido de carbono (CO) varia na situação descrita. A matéria aqui envolve transferência de massa e difusão molecular. Para resolver, vamos precisar entender a equação da continuidade e como aplicar as condições de contorno no contexto da difusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade molar. Ela basicamente garante que a massa total seja conservada durante o processo de difusão. Em coordenadas cartesianas (x, y, z), a equação da continuidade para a espécie A é:
Aqui, é a concentração molar de A, e são as velocidades nas direções x, y e z, respectivamente. Como o enunciado fala de uma película estagnada, as velocidades são zero, simplificando a equação.
Passo 3
Com as velocidades iguais a zero, a equação da continuidade fica:
Isso significa que a concentração de A não varia com o tempo, ou seja, estamos tratando de um regime estacionário. Então, a equação da continuidade simplifica para considerar apenas a difusão:
Onde é o coeficiente de difusão e é o operador laplaciano.
Passo 4
Em coordenadas cartesianas, o operador laplaciano para uma função que só varia na direção x (já que estamos falando de um capilar de profundidade fixa) é:
Então, a equação da continuidade estacionária fica:
Passo 5
Agora, vamos definir as condições de contorno. Temos duas fronteiras:
Na boca do capilar (x = 0), a concentração de CO é 10 mol%.
No fundo do capilar (x = 550 mm), assumimos que a concentração de CO é zero, já que o ar é estagnado e seco lá.
Assim, nossas condições de contorno são:
Passo 6
Vamos resolver a equação diferencial:
Integrando uma vez em relação a x:
Integrando de novo:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeiro, em x = 0:
Segundo, em x = 550 mm:
Resolvendo para :
Passo 8
Agora, substituímos e na expressão para :
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A distribuição da fração molar de CO ao longo do capilar é dada por: