Escreva as Equações da continuidade molar em coordenadas cartesianas, as condições de contorno e obtenha a distribuição da fração molar de A(A=CO), para a seguinte situação: Monóxido de carbono difunde-se através de uma pelfcula estagnada de ar seco de 550 mm de profundidade em um capilar que contém monóxido de carbono. A concentração de CO na boca do capilar é 10 % em mol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para escrever as equações da continuidade molar em coordenadas cartesianas, definir as condições de contorno e encontrar como a fração molar de monóxido de carbono (CO) varia na situação descrita. A matéria aqui envolve transferência de massa e difusão molecular. Para resolver, vamos precisar entender a equação da continuidade e como aplicar as condições de contorno no contexto da difusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade molar. Ela basicamente garante que a massa total seja conservada durante o processo de difusão. Em coordenadas cartesianas (x, y, z), a equação da continuidade para a espécie A é:
partial CApartial t + partial (CA u)partial x + partial (CA v)partial y + partial (CA w)partial z = 0
Aqui, é a concentração molar de A, e são as velocidades nas direções x, y e z, respectivamente. Como o enunciado fala de uma película estagnada, as velocidades são zero, simplificando a equação.

Passo 3

Com as velocidades iguais a zero, a equação da continuidade fica:
partial CApartial t = 0
Isso significa que a concentração de A não varia com o tempo, ou seja, estamos tratando de um regime estacionário. Então, a equação da continuidade simplifica para considerar apenas a difusão:
0 = D nabla^2 CA
Onde é o coeficiente de difusão e é o operador laplaciano.

Passo 4

Em coordenadas cartesianas, o operador laplaciano para uma função que só varia na direção x (já que estamos falando de um capilar de profundidade fixa) é:
nabla^2 CA = d^2 CAdx^2
Então, a equação da continuidade estacionária fica:
d^2 CAdx^2 = 0

Passo 5

Agora, vamos definir as condições de contorno. Temos duas fronteiras:
  1. Na boca do capilar (x = 0), a concentração de CO é 10 mol%.
  2. No fundo do capilar (x = 550 mm), assumimos que a concentração de CO é zero, já que o ar é estagnado e seco lá.
Assim, nossas condições de contorno são:
CA(0) = 0,10 , mol/mol
CA(550 , mm) = 0 , mol/mol

Passo 6

Vamos resolver a equação diferencial:
d^2 CAdx^2 = 0
Integrando uma vez em relação a x:
d CAdx = C1
Integrando de novo:
CA(x) = C1 x + C2

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar CA(0) = C2 = 0,10 , mol/mol e CA(550) = C1 (550) + 0,10 = 0 .
Primeiro, em x = 0:
C1 = -0,10550 = -15500 , mol/(mol·mm)
Segundo, em x = 550 mm:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, substituímos CA(x) = -15500 x + 0,10 e na expressão para :

Passo 9

Simplificando a expressão:
CA(x) = 0,10 - x5500

Resposta

A distribuição da fração molar de CO ao longo do capilar é dada por:
CA(x) = 0,10 - x5500 mol/mol

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