Escreva, em termos dos versores e , os vetores posição, velocidade e aceleração para o instante ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrevermos os vetores posição, velocidade e aceleração no instante usando os versores e . Isso está relacionado ao estudo de movimento vetorial na física, onde representamos a posição, velocidade e aceleração de um objeto em um plano usando componentes nas direções e . Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor cada vetor nas suas componentes (na direção ) e (na direção ).

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor posição no instante . Esse vetor indica a posição do objeto em relação à origem do sistema de coordenadas. Em termos dos versores, ele pode ser escrito como:
Aqui, e são as coordenadas do objeto no instante ao longo dos eixos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos para o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos:
Isso significa que a velocidade em é composta pelas taxas de variação das coordenadas e naquele instante.

Passo 4

Por fim, vamos para o vetor aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Portanto:
Assim, a aceleração em é composta pelas segundas derivadas das coordenadas e naquele instante.

Resposta

Em termos dos versores e , os vetores no instante são:

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