Escreva, em termos dos versores i e j, os vetores posição, velocidade e aceleração para o instante t0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrevermos os vetores posição, velocidade e aceleração no instante usando os versores e . Isso está relacionado ao estudo de movimento vetorial na física, onde representamos a posição, velocidade e aceleração de um objeto em um plano usando componentes nas direções e . Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor cada vetor nas suas componentes (na direção ) e (na direção ).

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor posição r(t0) = x(t0) i + y(t0) j no instante . Esse vetor indica a posição do objeto em relação à origem do sistema de coordenadas. Em termos dos versores, ele pode ser escrito como:
Aqui, e são as coordenadas do objeto no instante ao longo dos eixos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos para o vetor velocidade v(t0) = dxdt|t=t0 i + dydt|t=t0 j . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos:
Isso significa que a velocidade em é composta pelas taxas de variação das coordenadas e naquele instante.

Passo 4

Por fim, vamos para o vetor aceleração a(t0) = d^2xdt^2|t=t0 i + d^2ydt^2|t=t0 j . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Portanto:
Assim, a aceleração em é composta pelas segundas derivadas das coordenadas e naquele instante.

Resposta

Em termos dos versores r(t0) = x(t0) i + y(t0) j e v(t0) = dxdt|t=t0 i + dydt|t=t0 j , os vetores no instante a(t0) = d^2xdt^2|t=t0 i + d^2ydt^2|t=t0 j são:

Exercícios relacionados