Escreva todos os elementos de (S4, o) na forma de duas linhas e usando a notação de ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa listar todos os elementos do grupo simétrico usando duas formas de escrita: a de duas linhas e a notação de ciclo. Para isso, vamos precisar entender o que é e como representar as permutações de forma clara.

Passo 2

Primeiro, é o grupo de todas as permutações possíveis dos 4 elementos . Como temos 4 elementos, o número total de permutações é . Então, vamos ter 24 elementos para listar.

Passo 3

Vamos começar escrevendo cada permutação na forma de duas linhas. Na notação de duas linhas, a primeira linha é sempre e a segunda linha mostra para onde cada número vai estar após a permutação.

Passo 4

Depois disso, vamos converter cada uma dessas permutações para a notação de ciclo, que mostra como os números são “rotacionados” entre si.

Passo 5

Vamos listar todas as 24 permutações agora:
1 & 2 & 3 & 4 1 & 2 & 3 & 4
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 3 & 4 (a permutação identidade)
1 & 2 & 3 & 4 3 & 2 & 1 & 4
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 4 & 2 & 3 & 1
1 & 2 & 3 & 4 1 & 3 & 2 & 4
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 1 & 4 & 3 & 2
1 & 2 & 3 & 4 2 & 3 & 1 & 4
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 2 & 4 & 3 & 1
1 & 2 & 3 & 4 3 & 1 & 2 & 4
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 1 & 2
1 & 2 & 3 & 4 4 & 1 & 3 & 2
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 4 & 3 & 1 & 2
1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 4 & 3
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 3 & 2 & 4 & 1
1 & 2 & 3 & 4 4 & 2 & 1 & 3
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 2 & 3 & 4 & 1
1 & 2 & 3 & 4 2 & 4 & 1 & 3
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 3 & 1 & 4 & 2
1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 2 & 1
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 4 & 1 & 2 & 3
1 & 2 & 3 & 4 4 & 3 & 2 & 1
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 4 & 3
1 & 2 & 3 & 4 3 & 2 & 1 & 4
Ciclo: 1 & 2 & 3 & 4 4 & 2 & 3 & 1
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:
Ciclo:

Resposta

Todos os 24 elementos de estão listados acima nas formas de duas linhas e notação de ciclo.

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Verifique se os seguintes pontos são coplanares. Caso negativo, calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A e os três vértices adjacentes nos pontos B, C e D:
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Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: Em R^3,(1,1,1),(1,2,1).
Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores em \mathbb{R}^{3} com |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4$ e e .
(b) Determine o volume de um paralelepípedo de arestas \vec{u}, \vec{v} e \vec{u} \times \vec{v}.
Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} e |\vec{u}|=1.
Calcule:
(b) |\vec{u}-\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}-2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.