Verifique se os seguintes pontos são coplanares. Caso negativo, calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A e os três vértices adjacentes nos pontos B, C e D:
(b) A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1) e D=(10,-2,1);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos A, B, C e D estão todos no mesmo plano (ou seja, são coplanares). Se não estiverem, vamos calcular o volume do paralelepípedo formado por eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço e o produto misto (produto escalar triple) para verificar a coplanaridade e calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se os quatro pontos são coplanares. Para isso, pegamos o ponto A como base e formamos três vetores: , e .
Calculando os vetores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. Se o resultado for zero, os pontos são coplanares. O produto misto é dado por:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
= -4i - 10j - 12k
= (-4, -10, -12)
Passo 4
Agora, fazemos o produto escalar de AB cdot (AC times AD) = (1, 2, -2) cdot (-4, -10, -12) com = 1 cdot (-4) + 2 cdot (-10) + (-2) cdot (-12) :
= -4 -20 +24
= 0
Passo 5
Como o produto misto deu zero, isso significa que os pontos A, B, C e D são coplanares. Portanto, não precisamos calcular o volume do paralelepípedo, pois ele seria zero.