Uma esfera de 30 mm de diâmetro cuja superfície é difusa e cinza com uma emissividade de 0,8 é posta em um forno de grandes dimensões em que as paredes se encontram à temperatura uniforme de 600 K . A temperatura do ar no forno é de 400 K , e o coeficiente de transferência de calor por conveç̧ão entre a esfera e o ar no forno é de 15 W / m 2 cdot K.
Determine a transferência de calor líquida para a esfera quando sua temperatura é de 300 K .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de transferência de calor que envolve uma esfera em um forno. A esfera tem 30 mm de diâmetro, está a 300 K, e está rodeada por ar a 400 K e paredes do forno a 600 K. A superfície da esfera é difusa e cinza com emissividade de 0,8, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 15 W/m²·K. Nosso objetivo é determinar a transferência de calor líquida para a esfera. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da esfera, já que tanto a transferência por convecção quanto por radiação dependem da área. O diâmetro da esfera é 30 mm, então o raio r = 30 mm2 = 15 mm = 0,015 m é metade disso:
A = 4 pi r^2
A área A = 4 pi (0,015)^2 approx 4 pi (0,000225) approx 0,002827 m^2 de uma esfera é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transferência de calor por convecção. A fórmula para a transferência de calor por convecção é:
Qconv = h cdot A cdot (Tar - Tesfera)
Onde:
  • Qconv = 15 cdot 0,002827 cdot (400 - 300) = 15 cdot 0,002827 cdot 100 = 15 cdot 0,2827 approx 4,24 W é o coeficiente de convecção,
  • é a área que já calculamos,
  • é a temperatura do ar,
  • é a temperatura da esfera.
Substituindo os valores:
Então, a transferência de calor por convecção é aproximadamente 4,24 W para a esfera.

Passo 4

Agora vamos calcular a transferência de calor por radiação. A fórmula para a transferência de calor por radiação entre a esfera e as paredes do forno é:
Qrad = varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Tparedes^4 - Tesfera^4)
Onde:
  • Qrad = 0,8 cdot 5,6703 times 10^-8 cdot 0,002827 cdot (600^4 - 300^4) é a emissividade da superfície,
  • 600^4 = 1,296 times 10^11 K^4 300^4 = 8,1 times 10^9 K^4 é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • Qrad = 0,8 cdot 5,6703 times 10^-8 cdot 0,002827 cdot (1,296 times 10^11 - 8,1 times 10^9) Qrad = 0,8 cdot 5,6703 times 10^-8 cdot 0,002827 cdot 1,2159 times 10^11 Qrad approx 0,8 cdot 5,6703 times 10^-8 cdot 0,002827 cdot 1,2159 times 10^11 Qrad approx 1,56 times 10^4 W é a área da esfera,
  • é a temperatura das paredes do forno,
  • é a temperatura da esfera.
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos e :
Então:
Então, a transferência de calor por radiação é aproximadamente 15.600 W para a esfera.

Resposta

A transferência de calor líquida para a esfera é a soma da transferência por convecção e por radiação:
Qtotal = Qconv + Qrad approx 4,24 W + 15.600 W approx 15.604 W
Portanto, a transferência de calor líquida para a esfera quando sua temperatura é de 300 K é de aproximadamente 15.604 W.

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