Uma Esfera de cobre puro, com diâmetro de 15 mm e uma Emissividade de 0,5, está suspensa em um grande forno com as paredes a uma Temperatura Uniforme de 600^circ C. Ar escoa ao redor da Esfera a uma Temperatura de 900^circ C e a uma velocidade de 7,5 m / s. Determine a Temperatura da Esfera no Regime Estacionário. Resposta: 737^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos uma esfera de cobre puro com diâmetro de 15 mm e emissividade de 0,5. Ela está pendurada dentro de um forno grande, onde as paredes do forno estão a uma temperatura uniforme de 600^circ C. Além disso, há ar circulando ao redor da esfera com temperatura de 900^circ C e velocidade de 7,5 m/s. Nosso objetivo é encontrar a temperatura da esfera quando ela está em regime estacionário, ou seja, quando a temperatura dela para de mudar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação, além das leis de equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as temperaturas para a escala Kelvin, porque nas equações de calor usamos Kelvin.
Tforno = 600 + 273 = 873,K
Tar = 900 + 273 = 1173,K

Passo 3

Em regime estacionário, o calor que a esfera perde por radiação é igual ao calor que ela ganha por convecção. Vamos escrever isso matematicamente:
Qrad = Qconv

Passo 4

Vamos calcular o calor por radiação. A fórmula para isso é:
Qrad = epsilon sigma A ( Tesfera^4 - Tforno^4 )
Onde:
  • epsilon é a emissividade da esfera (0,5)
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8, W/m^2K^4)
  • A é a área da esfera
  • T são as temperaturas em Kelvin

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da esfera. A fórmula é:
A = 4pi r^2
O diâmetro da esfera é 15 mm, então o raio r é 7,5 mm ou 0,0075 m.
A = 4 pi (0,0075)^2 approx 0,00707, m^2

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o calor por convecção. Utilizamos a seguinte fórmula:
Qconv = h A ( Tar - Tesfera )
Onde:
  • h é o coeficiente de convecção
  • A é a área da esfera
  • T são as temperaturas em Kelvin
Para encontrar h, podemos usar a correlação de Nusselt para esferas:
Nu = 2 + 0,6 Re^1/2 Pr^1/3
E então:
h = Nu cdot kD
Onde:
  • Re é o número de Reynolds
  • Pr é o número de Prandtl
  • k é a condutividade térmica do ar
  • D é o diâmetro da esfera

Passo 7

Vamos calcular o número de Reynolds ( Re):
Re = rho v Dmu
Considerando:
  • rho (densidade do ar) ≈ 1,2 kg/m³
  • v (velocidade do ar) = 7,5 m/s
  • D = 0,015 m
  • mu (viscosidade dinâmica do ar) ≈ 1,8 times 10^-5, Pa cdot s
Re = 1,2 times 7,5 times 0,0151,8 times 10^-5 approx 75000

Passo 8

Vamos calcular o número de Prandtl ( Pr):
Pr = cp muk
Onde:
  • cp (capacidade térmica a pressão constante do ar) ≈ 1005, J/kg cdot K
  • mu = 1,8 times 10^-5, Pa cdot s
  • k (condutividade térmica do ar) ≈ 0,025, W/m cdot K
Pr = 1005 times 1,8 times 10^-50,025 approx 0,725

Passo 9

Agora, calculamos o número de Nusselt ( Nu):
Nu = 2 + 0,6 times 75000^1/2 times 0,725^1/3
Primeiro, encontramos 75000^1/2 approx 273,86 e 0,725^1/3 approx 0,895.
Nu approx 2 + 0,6 times 273,86 times 0,895 approx 2 + 147,3 approx 149,3

Passo 10

Agora, calculamos h:
h = Nu cdot kD = 149,3 times 0,0250,015 approx 248,8, W/m^2 cdot K

Passo 11

Voltando à equação do equilíbrio térmico:
epsilon sigma A ( Tesfera^4 - Tforno^4 ) = h A ( Tar - Tesfera )
Podemos simplificar A dos dois lados:
epsilon sigma ( Tesfera^4 - Tforno^4 ) = h ( Tar - Tesfera )

Passo 12

Vamos substituir os valores conhecidos:
0,5 times 5,67 times 10^-8 times ( Tesfera^4 - 873^4 ) = 248,8 times ( 1173 - Tesfera )

Passo 13

Resolvendo essa equação para Tesfera, encontramos:
Tesfera approx 737,^circ C

Resposta

A temperatura da esfera no regime estacionário é de aproximadamente 737^circ C.

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