Uma Esfera de cobre puro, com diâmetro de 15 mm e uma Emissividade de 0,5, está suspensa em um grande forno com as paredes a uma Temperatura Uniforme de
. Ar escoa ao redor da Esfera a uma Temperatura de
e a uma velocidade de
. Determine a Temperatura da Esfera no Regime Estacionário. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos uma esfera de cobre puro com diâmetro de 15 mm e emissividade de 0,5. Ela está pendurada dentro de um forno grande, onde as paredes do forno estão a uma temperatura uniforme de
. Além disso, há ar circulando ao redor da esfera com temperatura de
e velocidade de 7,5 m/s. Nosso objetivo é encontrar a temperatura da esfera quando ela está em regime estacionário, ou seja, quando a temperatura dela para de mudar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação, além das leis de equilíbrio térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as temperaturas para a escala Kelvin, porque nas equações de calor usamos Kelvin.
Passo 3
Em regime estacionário, o calor que a esfera perde por radiação é igual ao calor que ela ganha por convecção. Vamos escrever isso matematicamente:
Passo 4
Vamos calcular o calor por radiação. A fórmula para isso é:
Onde:
-
é a emissividade da esfera (0,5) -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ) -
é a área da esfera -
são as temperaturas em Kelvin
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da esfera. A fórmula é:
O diâmetro da esfera é 15 mm, então o raio
é 7,5 mm ou 0,0075 m.
Passo 6
Em seguida, vamos calcular o calor por convecção. Utilizamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção -
é a área da esfera -
são as temperaturas em Kelvin
Para encontrar
, podemos usar a correlação de Nusselt para esferas:
E então:
Onde:
-
é o número de Reynolds -
é o número de Prandtl -
é a condutividade térmica do ar -
é o diâmetro da esfera
Passo 7
Vamos calcular o número de Reynolds (
):
Considerando:
-
(densidade do ar) ≈ 1,2 kg/m³ -
(velocidade do ar) = 7,5 m/s -
= 0,015 m -
(viscosidade dinâmica do ar) ≈
Passo 8
Vamos calcular o número de Prandtl (
):
Onde:
-
(capacidade térmica a pressão constante do ar) ≈ -
= -
(condutividade térmica do ar) ≈
Passo 9
Agora, calculamos o número de Nusselt (
):
Primeiro, encontramos
e
.
Passo 10
Agora, calculamos
:
Passo 11
Voltando à equação do equilíbrio térmico:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 12
Vamos substituir os valores conhecidos:
Passo 13
Resolvendo essa equação para
, encontramos:
Resposta
A temperatura da esfera no regime estacionário é de aproximadamente
.