Uma esfera de cobre (
) com
de raio a uma temperatura inicial
é imersa em um banho a
. Assuma convecção natural com
, onde C é constante. Para
e escoamento em regime turbulento, ache o valor de C para que a diferença entre as temperaturas da placa e do banho após 10 minutos seja
da diferença de temperatura inicial. Lembre que, para uma esfera,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de cobre com certo raio e temperatura inicial imersa em um banho a uma temperatura mais alta. A gente precisa descobrir o valor da constante
na equação de convecção natural para que, após 10 minutos, a diferença de temperatura entre a esfera e o banho seja 25% da diferença inicial.
Matéria envolvida: Transferência de calor por convecção natural e condução de calor em esferas.
O que vamos precisar:
- Propriedades do cobre (densidade, condutividade térmica, capacidade calorífica).
- Fórmulas de transferência de calor para condução e convecção.
- Conceito de número de Biot (
). - Relações geométricas da esfera (volume e área).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
- Densidade do cobre:
- Condutividade térmica do cobre:
- Capacidade calorífica do cobre:
- Raio da esfera:
- Temperatura inicial da esfera:
- Temperatura do banho:
- Diferença de temperatura inicial:
- Tempo:
- Queremos que a diferença de temperatura após 10 minutos seja 25% da inicial:
Passo 3
Vamos usar a equação de resfriamento de Newton para condução de calor em uma esfera:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção. -
é a área da superfície da esfera. -
é o volume da esfera. -
é a densidade do material. -
é a capacidade calorífica específica.
Queremos integrar essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o volume
e a área
da esfera:
Passo 5
A equação diferencial fica:
Podemos reescrever isso como:
Onde
.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Passo 6
Queremos que
. Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 7
Sabemos que
. Então:
Queremos encontrar
, mas sabemos que
. No entanto, para simplificar, assumimos que
é constante durante o processo, já que a variação de
é pequena e
é tal que podemos linearizar. Assim, podemos considerar
, onde
é a diferença de temperatura média.
Mas para simplificação, vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Como estamos assumindo
, e
constante, podemos substituir
na equação anterior.
Passo 8
Rearranjando para
:
Já encontramos
, então substituindo:
Agora, precisamos determinar
. Vamos considerar
como a temperatura média, que pode ser aproximada por
.
Inicialmente,
e depois
.
Vamos calcular
:
Então, a temperatura média:
Logo,
Passo 9
Agora, substituímos todos os valores na equação de
:
Simplificando:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 10
Agora, precisamos determinar o valor de
. A questão menciona regime turbulento, mas não especifica
. Geralmente, para convecção natural,
pode ser 1, mas como estamos considerando um exponente genérico, a resposta geral fica em termos de
.
Entretanto, para convecção térmica típica, consideramos
.
Então:
Resposta
O valor da constante
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Reescreva as frases abaixo no singular ou plural, conforme indicado.
a) (Singular) There are some cars in the parking lot.
b) (Plural) There is a child in the park.
c) (Singular) We need to buy bananas.
d) (Plural) She drank a glass of milk.
a) (Singular) There are some cars in the parking lot.
b) (Plural) There is a child in the park.
c) (Singular) We need to buy bananas.
d) (Plural) She drank a glass of milk.
Observe os substantivos destacados no parágrafo e responda:
a) Quais são os substantivos contáveis mencionados?
b) Quais são os substantivos incontáveis mencionados?
a) Quais são os substantivos contáveis mencionados?
b) Quais são os substantivos incontáveis mencionados?
Uma indústria de chapas plásticas utiliza uma tubulação de 60 m de comprimento e
de diâmetro externo para a circulação de vapor necessário para o funcionamento da planta. Durante o seu funcionamento, a temperatura média da tubulação atinge cerca de
em um ambiente onde a temperatura se mantém em
, a superfície externa da tubulação está parcialmente oxidada e possui emissividade de 0,7 . Determine a taxa de transferência de calor da tubulação para o ambiente. Considere agora que o vapor que circula a planta é produzido em uma caldeira que possui eficiência de
. A indústria paga aproximadamente
para cada
de calor gerado pela queima de gás natural. Se a planta opera 24 h por dia e 365 dias ao ano, determine o custo anual devido a transferência de calor da tubulação ao ambiente da fábrica. Avalie os efeitos da temperatura da superfície da tubulação no calor perdido ao ambiente e no custo anual da planta. Plote os valores em função da temperatura de superfície entre
e
.
Um gas natural é analisado com:
e
. Determine as seguintes propriedades da mistura de gas:
a) Fração molar de
b) Fração em peso de
c) Peso molecula médio da mistura do gas natural;
d) Pressão parcial de cada componente se a pressão total é 1500 mmHg . (60, 1155, 75, 210 mmHg )
a) Fração molar de
b) Fração em peso de
c) Peso molecula médio da mistura do gas natural;
d) Pressão parcial de cada componente se a pressão total é 1500 mmHg . (60, 1155, 75, 210 mmHg )