Uma esfera de cobre ( ) com de raio a uma temperatura inicial é imersa em um banho a . Assuma convecção natural com , onde C é constante. Para e escoamento em regime turbulento, ache o valor de C para que a diferença entre as temperaturas da placa e do banho após 10 minutos seja da diferença de temperatura inicial. Lembre que, para uma esfera, .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de cobre com certo raio e temperatura inicial imersa em um banho a uma temperatura mais alta. A gente precisa descobrir o valor da constante na equação de convecção natural para que, após 10 minutos, a diferença de temperatura entre a esfera e o banho seja 25% da diferença inicial.
Matéria envolvida: Transferência de calor por convecção natural e condução de calor em esferas.
O que vamos precisar:
  • Propriedades do cobre (densidade, condutividade térmica, capacidade calorífica).
  • Fórmulas de transferência de calor para condução e convecção.
  • Conceito de número de Biot ( ).
  • Relações geométricas da esfera (volume e área).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Densidade do cobre:
  • Condutividade térmica do cobre:
  • Capacidade calorífica do cobre:
  • Raio da esfera:
  • Temperatura inicial da esfera:
  • Temperatura do banho:
  • Diferença de temperatura inicial:
  • Tempo:
  • Queremos que a diferença de temperatura após 10 minutos seja 25% da inicial:

Passo 3

Vamos usar a equação de resfriamento de Newton para condução de calor em uma esfera:
Onde:
  • é o coeficiente de convecção.
  • é a área da superfície da esfera.
  • é o volume da esfera.
  • é a densidade do material.
  • é a capacidade calorífica específica.
Queremos integrar essa equação para encontrar a relação entre e .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o volume e a área da esfera:

Passo 5

A equação diferencial fica:
Podemos reescrever isso como:
Onde .
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:

Passo 6

Queremos que . Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 7

Sabemos que . Então:
Queremos encontrar , mas sabemos que . No entanto, para simplificar, assumimos que é constante durante o processo, já que a variação de é pequena e é tal que podemos linearizar. Assim, podemos considerar , onde é a diferença de temperatura média.
Mas para simplificação, vamos rearranjar a equação para encontrar :
Como estamos assumindo , e constante, podemos substituir na equação anterior.

Passo 8

Rearranjando para :
Já encontramos , então substituindo:
Agora, precisamos determinar . Vamos considerar como a temperatura média, que pode ser aproximada por .
Inicialmente, e depois .
Vamos calcular :
Então, a temperatura média:
Logo,

Passo 9

Agora, substituímos todos os valores na equação de :
Simplificando:
Calculando o numerador:
Então:

Passo 10

Agora, precisamos determinar o valor de . A questão menciona regime turbulento, mas não especifica . Geralmente, para convecção natural, pode ser 1, mas como estamos considerando um exponente genérico, a resposta geral fica em termos de .
Entretanto, para convecção térmica típica, consideramos .
Então:

Resposta

O valor da constante é aproximadamente .

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Reescreva as frases abaixo no singular ou plural, conforme indicado.
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b) (Plural) There is a child in the park.
c) (Singular) We need to buy bananas.
d) (Plural) She drank a glass of milk.
Observe os substantivos destacados no parágrafo e responda:
a) Quais são os substantivos contáveis mencionados?
b) Quais são os substantivos incontáveis mencionados?
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