Uma esfera de cobre (
) com
de raio a uma temperatura inicial
é imersa em um banho a
. Assuma convecção natural com
, onde C é constante. Para
e escoamento em regime turbulento, ache o valor de C para que a diferença entre as temperaturas da placa e do banho após 10 minutos seja
da diferença de temperatura inicial. Lembre que, para uma esfera,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de cobre com certo raio e temperatura inicial imersa em um banho a uma temperatura mais alta. A gente precisa descobrir o valor da constante
na equação de convecção natural para que, após 10 minutos, a diferença de temperatura entre a esfera e o banho seja 25% da diferença inicial.
Matéria envolvida: Transferência de calor por convecção natural e condução de calor em esferas.
O que vamos precisar:
- Propriedades do cobre (densidade, condutividade térmica, capacidade calorífica).
- Fórmulas de transferência de calor para condução e convecção.
- Conceito de número de Biot (
). - Relações geométricas da esfera (volume e área).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
- Densidade do cobre:
- Condutividade térmica do cobre:
- Capacidade calorífica do cobre:
- Raio da esfera:
- Temperatura inicial da esfera:
- Temperatura do banho:
- Diferença de temperatura inicial:
- Tempo:
- Queremos que a diferença de temperatura após 10 minutos seja 25% da inicial:
Passo 3
Vamos usar a equação de resfriamento de Newton para condução de calor em uma esfera:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção. -
é a área da superfície da esfera. -
é o volume da esfera. -
é a densidade do material. -
é a capacidade calorífica específica.
Queremos integrar essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o volume
e a área
da esfera:
Passo 5
A equação diferencial fica:
Podemos reescrever isso como:
Onde
.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Passo 6
Queremos que
. Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 7
Sabemos que
. Então:
Queremos encontrar
, mas sabemos que
. No entanto, para simplificar, assumimos que
é constante durante o processo, já que a variação de
é pequena e
é tal que podemos linearizar. Assim, podemos considerar
, onde
é a diferença de temperatura média.
Mas para simplificação, vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Como estamos assumindo
, e
constante, podemos substituir
na equação anterior.
Passo 8
Rearranjando para
:
Já encontramos
, então substituindo:
Agora, precisamos determinar
. Vamos considerar
como a temperatura média, que pode ser aproximada por
.
Inicialmente,
e depois
.
Vamos calcular
:
Então, a temperatura média:
Logo,
Passo 9
Agora, substituímos todos os valores na equação de
:
Simplificando:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 10
Agora, precisamos determinar o valor de
. A questão menciona regime turbulento, mas não especifica
. Geralmente, para convecção natural,
pode ser 1, mas como estamos considerando um exponente genérico, a resposta geral fica em termos de
.
Entretanto, para convecção térmica típica, consideramos
.
Então:
Resposta
O valor da constante
é aproximadamente
.