Uma esfera de cobre ( rho Cu=8900 kg / m 3, kCu=400 W / mK, cCu=0,385 kJ / kgK ) com R=2 mm de raio a uma temperatura inicial Ti=25^circ C é imersa em um banho a Tb=75^circ C. Assuma convecção natural com h=C(Tb-T) n, onde C é constante. Para Bi<<1 e escoamento em regime turbulento, ache o valor de C para que a diferença entre as temperaturas da placa e do banho após 10 minutos seja 25 % da diferença de temperatura inicial. Lembre que, para uma esfera, V / A=R / 3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de cobre com certo raio e temperatura inicial imersa em um banho a uma temperatura mais alta. A gente precisa descobrir o valor da constante na equação de convecção natural para que, após 10 minutos, a diferença de temperatura entre a esfera e o banho seja 25% da diferença inicial.
Matéria envolvida: Transferência de calor por convecção natural e condução de calor em esferas.
O que vamos precisar:
  • Propriedades do cobre (densidade, condutividade térmica, capacidade calorífica).
  • Fórmulas de transferência de calor para condução e convecção.
  • Conceito de número de Biot ( ).
  • Relações geométricas da esfera (volume e área).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Densidade do cobre:
  • Condutividade térmica do cobre:
  • Capacidade calorífica do cobre:
  • Raio da esfera:
  • Temperatura inicial da esfera:
  • Temperatura do banho:
  • Diferença de temperatura inicial:
  • Tempo:
  • Queremos que a diferença de temperatura após 10 minutos seja 25% da inicial:

Passo 3

Vamos usar a equação de resfriamento de Newton para condução de calor em uma esfera:
dTdt = -hArho V c (T - Tb)
Onde:
  • é o coeficiente de convecção.
  • é a área da superfície da esfera.
  • é o volume da esfera.
  • é a densidade do material.
  • é a capacidade calorífica específica.
Queremos integrar essa equação para encontrar a relação entre e .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o volume V = 43 pi R^3 = 43 pi (0,002)^3 approx 3,351 times 10^-7 , m^3 e a área A = 4 pi R^2 = 4 pi (0,002)^2 approx 5,027 times 10^-5 , m^2 da esfera:

Passo 5

A equação diferencial fica:
dTdt = -h cdot 4 pi R^2rho cdot 43 pi R^3 cdot c (T - Tb) = -3hrho R c (T - Tb)
Podemos reescrever isso como:
dTdt = -k (T - Tb)
Onde T(t) - Tb = (Ti - Tb) e^-kt .
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:

Passo 6

Queremos que 0,25 (Ti - Tb) = (Ti - Tb) e^-kt . Substituindo na equação:
0,25 = e^-kt
Dividindo ambos os lados por ln(0,25) = -kt :
kt = -ln(0,25) = ln(4)
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
k = ln(4)t

Passo 7

Sabemos que 3hrho R c = ln(4)t . Então:
C = h(Tb - T)^n = k rho R c3 (Tb - T)^n
Queremos encontrar , mas sabemos que . No entanto, para simplificar, assumimos que é constante durante o processo, já que a variação de é pequena e é tal que podemos linearizar. Assim, podemos considerar , onde é a diferença de temperatura média.
Mas para simplificação, vamos rearranjar a equação para encontrar :
Como estamos assumindo , e constante, podemos substituir na equação anterior.

Passo 8

Rearranjando para C = k rho R c3 (Tb - T)^n :
C = ln(4) cdot rho R c3 t (Tb - T)^n
Já encontramos T(t) = Ti + 0,25 (Tb - Ti) = 25 + 0,25 times 50 = 25 + 12,5 = 37,5^circ C , então substituindo:
25 + 37,52 = 31,25^circ C
Agora, precisamos determinar . Vamos considerar como a temperatura média, que pode ser aproximada por .
Inicialmente, e depois .
Vamos calcular :
Então, a temperatura média:
Logo,

Passo 9

Agora, substituímos todos os valores na equação de C = ln(4) cdot 8900 , kg/m^3 cdot 0,002 , m cdot 385 , J/kgK3 times 600 , s times (43,75)^n :
C = 1,386 cdot 8900 cdot 0,002 cdot 3851800 cdot 43,75^n
Simplificando:
1,386 times 8900 times 0,002 times 385 approx 1,386 times 8900 = 12329,4 12329,4 times 0,002 = 24,6588 24,6588 times 385 approx 9491,198
Calculando o numerador:
C = 9491,1981800 times 43,75^n = 5,27243,75^n
Então:

Passo 10

Agora, precisamos determinar o valor de C = 5,27243,75 approx 0,1208 , W/m^2K^n+1 . A questão menciona regime turbulento, mas não especifica . Geralmente, para convecção natural, pode ser 1, mas como estamos considerando um exponente genérico, a resposta geral fica em termos de .
Entretanto, para convecção térmica típica, consideramos .
Então:

Resposta

O valor da constante é aproximadamente .

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