Uma esfera de latão com 3 cm de raio é colocada
abaixo de uma torneira aberta. A vazão da água da torneira é dois litros por minuto. Qual é o fluxo de água por minuto através da superfície da esfera?
a) Zero.
b) 0,018 litro por minuto.
c) 0,09 litro por minuto.
d) 2 litros por minuto.
e) 6 litros por minuto.
a) Zero.
b) 0,018 litro por minuto.
c) 0,09 litro por minuto.
d) 2 litros por minuto.
e) 6 litros por minuto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de latão com raio de 3 cm que está colocada a 0,5 metros abaixo de uma torneira aberta. A vazão da água da torneira é de 2 litros por minuto. A pergunta é: qual é o fluxo de água por minuto passando pela superfície da esfera?
Aqui, vamos usar conceitos de fluxo de fluido e teorema da divergência da física. Precisamos entender como calcular o fluxo da água através da superfície da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo de fluido. O fluxo (
) mede a quantidade de fluido que passa por uma área em um certo tempo. Ele é dado pela integral da velocidade do fluido (
) pela área (
):
No entanto, quando temos uma superfície fechada, como a esfera no nosso caso, podemos usar o teorema da divergência, que nos diz que o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à taxa de variação do volume dentro dela.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema da divergência. Se não há nenhuma fonte ou sumidouro dentro da esfera (ou seja, a água não está sendo gerada nem absorvida dentro da esfera), ent��o o fluxo total de entrada deve ser igual ao fluxo total de saída.
No nosso problema, a esfera é somente um objeto colocado na água que está fluindo da torneira. Não há geração de água dentro da esfera, então:
Isso significa que o fluxo total através da superfície da esfera é zero, já que a quantidade de água que entra na esfera é igual à que sai.
Passo 4
Vamos pensar de outra forma: a água que passa pela esfera não está se acumulando nem saindo dela, está apenas contornando a esfera. Então, o que entra é o que sai, mantendo o fluxo total constante.
Portanto, independentemente da vazão da torneira, o fluxo líquido através da superfície da esfera será zero.
Resposta
a) Zero.