Uma esfera de raio 13 cm é seccionada por um plano que passa a 5 cm de seu centro. Qual a área da secção formada?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma esfera com raio de 13 cm e um plano que corta essa esfera a 5 cm do centro. Queremos descobrir qual é a área dessa secção formada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre seções de esferas e a fórmula da área de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação: quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. A chave aqui é descobrir o raio desse círculo de interseção.

Passo 3

Sabemos que o raio da esfera é $ R = 13 $ cm e a distância do plano ao centro da esfera é $ d = 5 $ cm. Existe uma relação entre esses valores e o raio do círculo de interseção $ r $, dada pela fórmula:
R = 13

Passo 4

Vamos aplicar os valores que temos na fórmula:
r = raiz13^2 - 5^2 = raiz169 - 25 = raiz144 = 12 cm

Passo 5

Agora que sabemos que o raio do círculo de interseção é 12 cm, podemos calcular a área desse círculo usando a fórmula da área $ A $ de um círculo:
A

Passo 6

Substituindo o valor do raio:
A = pi (12)^2 = pi times 144 = 144pi cm^2

Resposta

A área da secção formada é $ 144\pi $ cm².

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