Uma esfera de raio 13 cm é seccionada por um plano que passa a 5 cm de seu centro. Qual a área da secção formada?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma esfera com raio de 13 cm e um plano que corta essa esfera a 5 cm do centro. Queremos descobrir qual é a área dessa secção formada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre seções de esferas e a fórmula da área de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação: quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. A chave aqui é descobrir o raio desse círculo de interseção.
Passo 3
Sabemos que o raio da esfera é $ R = 13 $ cm e a distância do plano ao centro da esfera é $ d = 5 $ cm. Existe uma relação entre esses valores e o raio do círculo de interseção $ r $, dada pela fórmula:
Passo 4
Vamos aplicar os valores que temos na fórmula:
Passo 5
Agora que sabemos que o raio do círculo de interseção é 12 cm, podemos calcular a área desse círculo usando a fórmula da área $ A $ de um círculo:
Passo 6
Substituindo o valor do raio:
Resposta
A área da secção formada é $ 144\pi $ cm².